三相电路瞬时无功功率理论首先1983年由赤木泰文提出，此后该理论经不断研究逐渐完善。赤木 最初提出的理论亦称pq理论，是以瞬时实功率P和瞬时虚功率q的定义为基础，其主要的一点不 足是未对有关的电流量进行定义。下面将要介绍的是以瞬时有功电流，；和瞬时无功电流 ,为基础的 理论体系，以及它与传统功率定义之间的关系。
设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为e 、eb、e 和 i、ib、 ic。为分析问题方便，把它们变
a 换到a-p两相正交的坐标系上研究。由下面的变换可以得到a、
两相瞬时电压 'a、e p 和 a、P
两相瞬时电流ia、
e e i
a e
a
=C
32 a e
b （6-1）
ie
=C
32 a b i
i （6-2） i
-12 Ri.。
v3/2
图6-1a-P坐标系中的电压、电流矢量
式中C =.岑
在图6-1所示的a-p平面上
矢量ea、 e 口和ia、ip分别可以合成（旋转）电压矢量e和电流矢量
e — e + e 廿=e/①（6-3） i - i + ip = i/①.（6-4）
式中，e、 i为矢量e、i的模; 、分别为矢量e、i的幅角。
【定义6-11三相电路瞬时有功电流i和瞬时无功电流i分别为矢量i在矢量e及其法线上的投影。
即
i -icos①（6-5） p i - i sin ①（6-6）
式中，①=Q—2。a-P平面中的ip、z；如图6-1所示。
【定义6-21三相电路瞬时无功功率q （瞬时有功功率p）为电压矢量e的模和三相电路瞬时无功
电流i （三相电路瞬时有功电流i）的乘积。即 q p p = ei （6-7） p
q = ei （6-8） q
把式（6-5）、式（6-6）及（p=（p -cp代
入式 e i
（6-7）、式（6-8）中，并写成矩阵形式得出
=C ,a (6-9) pq i L p」 e e
式中。=a P 。
把式（6-1）、式（6-2）代入上式，可得出〃 q对于三相电压、电流的表达式
pq e — e
p = e i +e i + e iL p p」 (6-10) a a b b c c q =
J3 -e） + （e -e） + （e -e）］ （6-11）
b c a c a b a b c 从式（6-10）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。
【定义6-31a、P相的瞬时无功电流ii （瞬时有功电流ii ）分别为三相电路瞬时无功 aq Pq 电流i （瞬时有功电流i ）在a、P轴上的投影，即
Q P I = I COS(P =
= -- ee -- p (6-12a)
ap p e e P 02 +©2 a p i = iBp P sincp = —P-f = ------ P——p (6-12b)
e e P 02+02 a P i = i sincp = —P-f = ------ P——q (6-12c) aq q e 0 4 02 + 02 a p i = —i cos(p =—土—ei = -------- — e
»-q (6-12d) % q e 6 4 02+02 a p 图6-1中给出了 i 、i 、i 、i . aq pq ap Pp 从定义3很容易得到以后性质： (1) z12 +/2 5) 即 =i2P (6-13a)
i2dq % q +Z2 =i2 (6-13b)
i + i =iap (6-14a)
aq ap Pp
i +i =i （6-14b） 降 因 P
上述性质（1）是由a轴和P轴正交而产生的。
某一相的瞬时有功电流和瞬时无功电流也可分别称为该相瞬时电流的有功分量和无功分量。
【定义6-41a、B相的瞬时无功功率9、q （瞬时有功功率2、p。）分别为该相瞬时电压和瞬 a p
时无功电流（瞬时有功电流）的乘积，即 a p
p =e i = --------- «——p (6-15a)
a a ap ^2 + Q2 a P 02 p =e i = --------- P——p (6T5b) P P 即 02 + e2 a P q =e i =-—q (6T5c) a a aq ^2 + ^2 a P q =e i = --------- <^-^q (6T5d)
P P Pq e2 + e2 a P 从定义6-4可得到如下性质：
（1）
（6-16）
(2) q +q =0 (6-17) a p
【定义6-51三相电路各相的瞬时无功电流ii （瞬时有功电流ii、i ）是a、p两 aq bq cq 相瞬时无功电流i 、i （瞬时有功电流i i ）通过两相到三相变换所得到的结果。
M [3夕 dp 即 ap I 即」ii - C P bp 23 i L
(6-18)
cp」 L aq I i - C aq bq 23 i i L 的」
(6-19)
L cq
」 式中。=CT O
23 32 把式（6_12）代入式（6-18）、式（6-19）中得 i = (e -e ) — (6-21a)
ap Q 4
(6-20a) bp 力
A
(6-20b) c A
(6-20c)
cp aq b c A i = (e -e ) — (6-21b) bq c a A
ap bp cp)i = e -e (6-21c)
(―cq 式中 A =(e -e I + e -e I + e -e I = 2(e2 + e2 + e2 -e e -e e -e e ) a b 从以上各式可得到如下性质：
((a b A b c c a a b c a b b c c a (1) i + i + i = 0 (6-22a) i + i + i = 0 (6-22b) (2) i +i = i (6-23a) ib + * = ib (6-23b) i +i =i (6-23c)
上述两个性质分别和定义6-3的性质(1)、(2)相对应。定义6-3的性质(1)反映了 a相和p相 的正交性，而这里的性质(1)则反映了 a、b、c三相的对称性。
【定义6-6］各相的瞬时无功功率—「qb、qc (瞬时有功功率p「pb、p,)分别为该相瞬时电压 和瞬时无功电流(瞬时有功电流)的乘积，即 p =e i =3e2 (6-24a) a a ap a A pp = e i = 3e2 (6-24b) b b bp b A pp = e i = 3e2 — (6-24c) c c cp c A )q = e i = e e -e (6-25a)
(qa a aq a b c A q)q = e i = e e - e ( 6-25b )
(b b bq b c a A q)q = e i = e e -e (6-25c)
(c c cq c a b A 定义6-6也有和定义6-4类似的性质： (1) p + p + p = p (6-26) (2) q + qb + q = 0 (6-27)
传统理论中的有功功率、无功功率都是在平均值基础或相量的意义上定义的，它们只适用于电压、 电流均为正弦波时的情况。而瞬时无功功率理论中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅 适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。从以上各定义可以看出，瞬时无功功率 理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。
下面分析三相电压和电流均为正弦波时的情况。设三相电压、电流分别为
e - E sin ① t (6-28a)
=E sin (wt - 2兀13)(6-28b) =E sin(3t + 2兀：3)(6-28c) =I sin (wt 一中)(6-29a)
=I sin(3t一①一2兀.；3)(6-29b) =I sin(wt一① + 2兀/3)(6-29c)
利用（6-1）、式（6-2）对以上两式进行变换，可得 e
sin 3t
a (6-30)
e 一 cos 3t
i
sin (wt -
a
(6-31)
i 3) 」
- cos(wt -
=\\3'21m
式中 Em 2 2\" Im 2 。
把式（6-30）和式（6-31）代入（6-9）中可得
3\"『
(6-32a) p = —E I cos
①
(6-32b)
2 m m 3一 •
I = I ..\\/2分别为相电压和相电流的有效值，得
p = 3EI cos① (6-33a) q = 3EI sin①(6-33b)
从上面的式子中可以看出，三相电压和电流均为正弦波时，p、q均为常数，且其值和按传统理论 算出的有功功率p和无功功率q完全相同。
把式（6-30）、式（6-31）代入式（6-12）中可得a相瞬时有功电流和瞬时无功电流 i = I cos①sinwt （6-24a）
i - I sin q sin （wt -兀1/2 （ 6-24b ）
）
比较上式和式（6-31）可以看出，a相的瞬时有功电流和瞬时无功电流的表达式与传统功率理论中 a相电流的有功分量和无功分量的瞬时值表达式完全相同。对于P相及三相中的a、b、c各相也 能得出同样的结论。
由上面的分析不难看出，瞬时无功功率理论包容了传统的无功功率理论，比传统理论有更大的适用 范围。