湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案

数 学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟。满分120分

一． 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的)

1。已知集合A={1，2，3,4｝，B=｛3，4,5，6｝，则（ )

A。{1，2，3,4，5,6} B.{2,3，4} C.{3,4} D。｛1,2，5，6｝ 2.“x29是x3的（ ) 条件

A.充分必要 B。必要不充分 C。充分不必要 D.既不充分也不必要 3.函数yx22x的单调增区间是（ )

A。(,1] B.[1,) C。 (,2] D。 [0,)

34.已知cos ，且 为第三象限角，则tan=（ )

54334A. B. C。  D。  34435。不等式|2x1|1的解集是（ )

A。{x|x0} B。 {x|x1} C。 {x|0x1} D. {x|x0或x1} 6。点M在直线3x+4y-12=0上，O为坐标原点，则线段OM长度的最小值是( ）

1212A。3 B.4 C。 D。

5257.已知向量a、b满足|a|7,|b|12，ab42,则向量a、b的夹角为（ ) A。30° B.60° C。120° D.150° 8.下列命题中,错误的是（ ） ．． A.平行于同一个平面的两个平面平行 B。平行于同一条直线的两个平面平行

C。一个平面与两个平行平面相交，交线平行

D。一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交

9．已知asin15,bsin100,csin200,则a,b,c的大小关系为（ ) A。abc B。acb C。cba D。cab

10.过点(1，1）的直线与圆x2y24相交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为( )

A。2 B。4 C。3 D。23 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分，共20分）

11.某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法,从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为______。 12.函数

f(x)cosxb(b为常数）的部分图像如图所示,则b=______。

13。(x1)6 的展开式中x5的系数为______（用数字作答）。 14.已知向量a=（1,2），b =(3,4)，c =（11，16），且cxayb ，则x+y=______.

15.如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积为______。

三、解答题（本大题共7小题,其中第21、22小题为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16。（本小题满分10分）

已知数列{an}为等差数列，a11,a35;

⑴求数列{an}的通项公式；

⑵设数列{an}的前n项和Sn,若Sn100,求n。 17.（本小题满分10分）

某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测，用ξ表示取出饮料中不合格的评述，求:

⑴随机变量ξ的分布列；

⑵检测出有不合格饮料的概率。 18。 (本小题满分10分)

已知函数f(x)loga(x3),(a0,a1) 的图像过点（5，1）。 ⑴求f(x)的解析式，并写出f(x)的定义域 ⑵若f(m)1，求m的取值范围。 19。 (本小题满分10分)

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面

ABC,AA1ABBC，∠ABC=90°，D为AC的中点. ⑴证明：BD⊥平面AA1C1C；

⑵求直线BA1与平面AA1C1C所成的角.

20.（本小题满分10分）

x2y2已知椭圆C:221（ ab0) 的焦点为F1（—1,0），F2（1，0），点A（0，1）

ab在椭圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

⑵直线l过点F1且与AF1垂直，l与椭圆C相交于M，N两点，求MN的长

选做题:请考生在第21，22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号。 21。 （本小题满分10分） 如图，在四边形ABCD中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°，∠ABC=75°，求四边形ABCD的面积。

22. （本小题满分10分）

某公司生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利4万元,生产1吨乙产品可获利润5万元，问:该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大?

甲 乙 原料限额 A（吨) 1 2 8 B（吨） 3 2 12

参 一、 选择题 题号 1 2 答案 C B 二、 填空题 3 B 4 A 5 D 6 D 1 327 C 8 B 9 D 10 A 11、25 12、2 13、6 14、5 15、三、解答题

16、解：⑴{an}为等差数列，a11,a35，所以公差d故ana1(n1)d12(n1)2n1 ⑵因为等差数列{an}的前n项和Snn(12n1)100 ，n10 217、解:⑴的可能取值有0，1， 2

a3a1512 312n(a1an) ,Sn100，所以有 2201102C4C2C4C2C4C2281，， P(0)P(1)P(2)222C65C615C615故随机变量的分布列为：  0 1 2 281P 51515⑵设事件A表示检测出的全是合格饮料，则A表示检测的有不合格饮料

20C4C22因为检测出的全是合格饮料的概率P(A),所以检测的有不合格饮料的概率为 2C6523P(A)1P(A)1

5518、解：⑴由fxloga(x3)的图像过（5,1）得:loga(53)1,即loga21，所以a2 .

由对数性质知x30,x3；所以函数fxlog2(x3)的定义域为(3,) 。 ⑵因为fxlog2(x3),f(m)1,所以log2(m3)1 即有：log2(m3)log22

所以有0m32，3m5 即m的取值范围是(3,5).

19、⑴证明:因为在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC，

BD底面ABC，所以AA1BD

又ABBC，∠ABC=90°，D为AC的中点 所以BDAC

又AA1ACA ，所以BD⊥平面AA1C1C

⑵因为BD⊥平面AA1C1C，连A1D,则BA1D是直线BA1与平面 AA1C1C所成的角。

12ACAB,A1B2AB 22BD1 ， BA1D30 所以sinBA1DA1B2在直角A1BD中,BDx2y220、解：⑴因为椭圆C：221（ab0)的焦点为F1（—1,0)，F2（1,0）,

ab所以c1

0212又点A(0,1)在椭圆C上,所以221，即b21

aba2b2c2112

x2y21 故椭圆方程为2⑵因为直线AF1的斜率kAF11，直线l过点F1且垂直AF1，所以直线l的斜率k1

直线l的方程为yx1 yx123x4x0 由x2 消去得:y2y124设M，N坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2)，则有x1x2,x1x20

34|x2x1|(x2x1)24x1x2

3442|MN|k21|x2x1|2

3342即MN的长为

321、解：连结BD，

在BCD中，BC=6，DC=6，BCD=120， 由余弦定理得

BD2=BC2+DC2-2BC•DC•cosBCD 所以

BD2=62+62-266cos120 即BD=63 又由BC=DC=6，BCD=120得 CDB=CBD=30 所以ABD=45

s四边形ABCD=sABDsBCD

11s四边形ABCD=BC•DC•sinBCDAB•BD•sinABD

2211s四边形ABCD=66•sin120463sin45

221312s四边形ABCD=66634

2222s四边形ABCD=9366 22、解:设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨，才能使公司每天获得的利润最大，利润为Z万元,则

x2y83x+2y12 x0y0目标函数为z4x5y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分)即可行域。

4Z由z4x5y得yx

554Z平移直线yx

554Z由图像可知当直线yx经过点B 时,

554Z直线yx的截距最大，此时Z最大

55x2y=8解方程组得x2,y3

3x+2y=12即点B的坐标为(2，3）

z最大值=42+53=23 （万元）

答：每天生产甲2吨,乙3吨,能够产生最大利润，最大利润是23万元。