直线与圆的位置关系
章末总结提升(见B本65页)
, 探究点 1 直线与圆的位置关系)
【例1】已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P，满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( D )
A．相切 B．相离
C．相离或相切 D．相切或相交
x＋3y＝4－a，
变式 已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组
x－y＝3a.
(1)求函数y的表达式；
(2)若点P的坐标为(m，0)，求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围．
x＋3y＝4－a①，
解：(1)①×3，得3x＋9y＝12－3a③，
x－y＝3a②，
13
②＋③，得4x＋8y＝12，即x＋2y＝3，得y＝x＋. 22
(2)当y＝0时，x＝3，即函数y的图象与x轴交于点A(3，0)， 33当x＝0时，y＝，即函数y的图象与y轴交于点B0，， 22当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，
此时∠PCA＝90°
∴∠PCA＝∠BOA，且∠BAO＝∠PAC，∴△ABO∽△APC， PCAC1AC
∴＝，即＝，∴AC＝2，∴PA＝5 OBOA33
2此时，P的横坐标为3－5或3＋5，
∴当圆P与直线y有交点时，3－5≤m≤3＋5.
, 探究点 2 切线的判定与性质)
例2图
【例2】 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．
(1)求证：AB为⊙O的切线．
1
(2)如果tan∠CAO＝，求cos B的值．
3解：(1)证明：如图，作OM⊥AB于点M，
例2答图
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB， ∴OC＝OM，∴AB是⊙O的切线，
22
(2)设BM＝x，OB＝y，则y－x＝1①， BMBCxy＋1
∵cos B＝＝，∴＝，
OBAByx＋3∴x＋3x＝y＋y②，
由①②可以得到y＝3x－1，
22
∴(3x－1)－x＝1，
35x3∴x＝，y＝，∴cos B＝＝. 44y5
2
2
变式图
变式 2017·衡阳中考如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D.
(1)E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线． (2)若AC＝3CD，求∠A的大小． 解：(1)证明：连结OC，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，
变式答图
∵AO＝OB，E为BD的中点，
∴OE∥AD，∴∠1＝∠3，∠A＝∠2， ∴∠2＝∠3，
OC＝OB，
在△COE与△BOE中，∠2＝∠3，
OE＝OE，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴CE是⊙O的切线． (2)∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD， ∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC， BCCD2
∴＝，∴BC＝AC·CD， ACBC122
∵AC＝3CD，∴BC＝AC，
3BC3
∴tan∠A＝＝，∴∠A＝30°.
AC3
, 探究点 3 切线长定理与三角形的内切圆)
例3图
【例3】 2017·宁波中考如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22，以BC的中︵
点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则DE的长为( B )
A.π 4
πB. 2
C．π
D．2π
变式 2017·武汉中考已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( C )
A.
3
2
3B. 2
C.3
D．23
1．如果直线l与⊙O有公共点，那么直线l与⊙O的位置关系是( D ) A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
第2题图
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( A )
A.13
3
9B. 2
C.4
13 3
D．25
第3题图
3．遵义中考如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连结AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是__5__．
第4题图
4．如图所示，已知在等边△ABC中，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD.
(1)求证：DF是⊙O的切线． (2)求FG的长．
(3)求tan∠FGD的值．
第4题答图
解：(1)证明：连结OD，如图(1)，
∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB， ∴△ODB是等边三角形，
∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC，∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．
(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.
1
在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，
2∴AF＝AC－CF＝12－3＝9， 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°， ∴FG＝AF×sin A＝9×393＝. 22
(3)如图，过D作DH⊥AB于点H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.
1
在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝3BH＝33 .在Rt
2△AFG中，∵∠AFG＝30°，
1999∴AG＝AF＝，∵GH＝AB－AG－BH＝12－－3＝，
2222GH33∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝. DH3322
9
2
第5题图
5．如图所示，A(－8，0)，B(－6，0)．点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(7，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．
(1)点C的坐标是 (0，6) ； (2)当∠BCP＝15°时，求t的值；
(3)以点P为圆心、PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的一边(或边所在的直线)相切时，求t的值．
解：(2)当点P在点B右侧时，如图(a)．
由∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°.OP＝t－7，则PC＝2(t－7)，
22222
在Rt△POC中，CP－OP＝6，故4(t－7)－(t－7)＝36，
此时t＝7±23(舍去7－23)， 当点P在点B左侧时，如图(b)，
由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，PC＝2CO＝12， 故PO＝12－6＝63.此时t＝7＋63. ∴t的值为7＋23或7＋63.
22
第5题答图
(3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况： ①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°， 从而∠OCP＝45°，得到OP＝6.此时t＝1. ②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD， 即点P与点O重合，此时t＝7.
③当⊙P与AD相切时，由题意知，∠DAO＝90°， ∴点A为切点，如图(c)． 22222PC＝PA＝(15－t)，PO＝(t－7). 35222
所以(15－t)＝(t－7)＋6，解得t＝. 435
∴t的值为1或7或.
4
6．如图所示，在直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴、y轴相交于A，B 两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心、3为半径作⊙P.
(1)连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)当⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形时，求点P的坐标．
第6题图
解：(1)如图1，⊙P与x轴相切，
∵直线y＝－2x－8与x轴交于A(－4，0)，与y轴交于B(0，－8)， ∴OA＝4，OB＝8.
由题意，OP＝－k，∴PB＝PA＝8＋k.
222
∵在Rt△AOP中，k＋4＝(8＋k) ∴k＝－3，∴OP等于⊙P的半径． ∴⊙P与x轴相切．
第6题答图
(2)如图2，设⊙P1与直线l交于C，D两点，连结P1C，P1D， 当圆心P1在线段OB上时，作P1E⊥CD于点E， 13
∵△P1CD为正三角形，∴DE＝CD＝，P1D＝3.
2233
∴P1E＝.
2
∵∠AOB＝∠P1EB＝90°，∠ABO＝∠P1BE， 332AOP1E4
∴△AOB∽△P1EB.∴＝，即＝，
ABP1BPB145315315
∴P1B＝.∴P1O＝BO－BP1＝8－.
22
315
∴P10，－8.
2
315
当圆心P2在线段OB延长线上时，同理可得P20，－－8.
2