数列求和问题

数列求和问题

主讲：许权贵

一、学习要点：

1．等差、等比数列的求和方法及前n项和公式是数列求和的基础，要熟练掌握。

2．求数列的前n项和一定要抓住数列的通项，分析通项公式的结构与特点，通过对通项进行适当的变形、转换达到求和的目的。

二、数列求和的主要方法：

（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。

（2）拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方

法。

例1 求和：(a1)(a22)(ann)

习题

1数列1,(12),(1222),,(1222

2n1),的通项公式an ，前n项和Sn .

（3）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。 例2 求 10029929829722212的值是

A．2525 B．5050 C．10100 D．20200

习题：sn1357....(1)n(2n1)

（4）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。

常用技巧有：

①

1n(nk)1(2n1)(2n1)1n(n1)(n2)113135111()； ②knnk1112n11nkn1k(nkn)

③

22n111()； ④nn!(n1)!n!

⑤

2n(n1)1[1(n1)(n2)]

例3，求值：

(2n1)(2n1)

习题．数列1,A．

2n2n11121232nn1,1,,112nn2n1,的前n项和为

n2n1 B． C． D．

例4．正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Snan1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn

1anan1,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn12.

（5）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原

数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n项和公式的方法。若{an}为等差、{bn}为等比数列，则求数列{anbn}的前n项和可用此法。 例5．求和：Sn

12x3x2nxn1(x1)

例6．在等差数列an中，a11，前n项和Sn满足条件

（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）记bnanp

anS2nSn4n2n1,n1,2,，

(p0)，求数列bn的前n项和Tn。

（6）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n项和公式的方法 例6，求和：

snc1n2c3c....nc2n3nnn

三、练习题：

1．数列{an}的通项公式是an1nn1(nN)，若它的前n项和为10，则其项数n为

A．11 B．99 C．120 D．121 2．数列{an}的通项是an4n1，bna1a2ann，则数列{bn}的的前n项和为

A．n2 B．n(n1) C．n(n2) D．n(2n1)

3．已知数列{an}的前n项和为Snn24n1 ，则|a1||a2||a3||a10|的值是 A．65 B．67 C．61 D．56 4．数列1,3,5,,(2n1)248111122n,的前n项和为Sn，则Sn

A．n21

12n B．n211n1 C．2n2n112n D．n2n112n

5．在等比数列{an}中，a1a2an2n1，则a12a22an2

A．(21) B．

n2(21)3n2 C．41 D．

n413n

6．若数列{an}满足 a12，nan1(n1)an2，则数列{an}的通项公式an___ 7．数列{an}中，a11,a22，an2an1(1)n(nN)，则S100_________。 8．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,a3（I）求数列{an}的通项公式； （II）求和：

121S1S36.

1S21Sn.

9．设数列{an}的前n项和为Sn2n2，{bn}为等比数列，且a1b1,b2(a2a1)b1. （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn

anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.

10．数列{an}的前n项和为Sn ，满足：a11，3tSn(2t3)Sn13t，其中t0，nN 且n2 （Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；

（Ⅱ）设数列{an}的公比为f(t)，数列{bn}满足b11,bnf(1bn1)(n2),求bn的通项式.

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（Ⅲ）记Tnb1b2b2b3b3b4b4b5b2n1b2nb2nb2n1,求证：Tn