2009浙江2+2数学试题

李永乐和李正元的考研数学（三）

2009年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷 题 号 一 二 三 四 五 总 分 复核 得 分

考试说明：

1、考试时间为150分钟； 2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写得分 阅卷人 出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共 24分）

1．函数 f(x)aln(1x)b,x1ex,x1 在 x1 处可导 ，

则 a= ， b= .

x2．若函数 f(x)0 满足方程 f2(x)2f(t)dt1，则 f(x) = .

03 . 二阶常系数线性非齐次微分方程 y''ysinx 的通解是 . 4．设 (a,b,c),AT, A* 为 A 的伴随矩阵, 则 A*= .

5．设 A 为 n 阶方阵，AATE,E 为 n 阶单位阵, A0, 则 AE .

6. 袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不小于7的概率为 .

二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4得分 阅卷人 分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项 符合要求）

1．二元函数 f(x,y)x22y22lnxlny 在其定义域内 ( ) . （A） 有极小值 （B） 有极大值 （C） 既有极大值也有极小值 （D） 无极值

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2. R 为收敛半径的充分必要条件是 ( ) .

n（A）当 xR 时，anx 收敛，且当 xR 时

n1n1nanx 发散

（B） 当 xR 时，anx收敛，且当 xR 时

n1nn1nanx 发散

（C）当 xR 时，anx收敛，且当 xR 时

n1nn1nanx 发散

n（D）当 RxR 时，anx收敛，且当 xR 或 xR 时

n1n12nanx发散

3．已知二元函数 f(x,y) 在点 (0,0) 某邻域内连续 ， 且 limf(x,y)xyxy233x0y01 ，

则（ ）.

（A） 点 (0,0) 不是二元函数 f(x,y) 的极值点 （B） 点 (0,0) 是二元函数 f(x,y) 的极大值点 （C） 点 (0,0) 是二元函数 f(x,y) 的极小值点 （D） 无法判断点 (0,0) 是否是二元函数 f(x,y) 的极值点 a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb24．对于非齐次线性方程组 

an1x1an2x2annxnbn以下结论中 不正确 的是 ( ).

(A) 若方程组无解, 则系数行列式 D0 (B) 若方程组有解, 则系数行列式 D0 (C) 若方程组有解, 则或有唯一解, 或有无穷多解 (D) D0 是方程组有唯一解的充分必要条件

5. 某单位电话总机在长度为 t (小时) 的时间间隔内, 收到呼叫的次数服从参数为

t3 泊松

分布, 而与时间间隔的起点无关, 则在一天24小时内至少接到1次呼叫的概率为 ( ).

(A) e

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1 (B) 1e4 (C) e8 (D) 1-e8

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三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分）

1. 已知 zf(x,y)得分 阅卷人 x2y(lnx2lny) ，在计算点 (2,1) 处函数值时，如

果自变量 x 和 y 分别发生误差 x0.02 和 y0.01 ， 试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差 z 的近似值 .

2．设函数 f(x) 在点 x0 的邻域内 连续，极限 Alim[x03f(x)2xln(1x)x2]

存在 ，（1）求 f(0) 的值； （2）若 A1，问：f(x) 在点 x0 处是否可导？ 如不可导，说明理由；如可导，求出 f'(0) .

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3. （1）已知广义积分

ex2xdx 是收敛的，试利用初等函数 e 的幂级数展开式推

导出这个广义积分的值大于1 的结论 ，详细说明你的理由（4 分） ；

2（2） 利用（1） 的结论，试比较

2(x2)ex2x2dx 与

1(2x)ex2x2dx

的大小 ，详细说明你的理由 （5 分） .

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04．已知定义在全平面上的二元函数 f(x,y)2----------------------2009年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷-------------------

其中 D 是由直线 yx， y1 和 y 轴所围成的封闭平面区域，求 f(x,y)

f(x,x)ydx(x1)f(x,y)dD32 ，

--- --- 的解析表达式 .

--- ---

--- -- - ---

--- --

-： --- 业---专--

-考--- 报--- --

- --- ---

--- --- --- --- ---

---

--- ---

--- 校---学--- 考线- 报封__密

_-- __---__--

-_--- __--_-_-- _---__--

_-_--- _---__--

_-_--：- --号---

证--- 考---准---

_----

___---_ -- -__ --

_-_--_-_---_--_-：---名---姓--------------第 5 页，共 12 页

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1a1a1a1000a1a1000a1a1000a1a5．计算行列式

000 的值 .

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106．已知 B00A(EC11100TT01100200,C01101200312043 , 矩阵 A 满足 : 12B)CE , E 为单位阵 , 求 A .

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Ae(xy)7．设随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为 f(x,y)0,,x0,y0其它 ,

求 : (1) 常数 A （2分） ； (2) Zmin(X,Y) 的概率密度函数 （4分） ；

（3）(X,Y) 落在以 x 轴 , y 轴及直线 2xy2 所围成三角形区域

D 内的概率 （3分）.

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-------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---： ---业---专---考---报--- -- - -- - -- - --- --- --- --- --- --- --- --- --- 校---学---考线-报封__密_--__---__---_---__--_-_--_---__--_-_---_---__--_-_--：---号---证---考---准---_---__-_---_ -- -__ --_-_--_-_---_--_-：---名---姓-------------- ----------------------2009年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷-------------------

四．应用题： （本题共3个小题，每小题10分，得分 阅卷人 共30分）

1. 设工厂生产 A 、B 两种相同用途但不同档次的

产品。每生产一公斤A 产品和 B 产品的变动成本分别为12 元 / 公斤 和 8元 / 公斤；这两种产品的需求函数分别为 x1(34pq) 和 y13(14pq) ，其中 p 、q

分别为A 产品和 B 产品的销售单价（元 / 公斤），x 、y 分别为A 产品和 B 产品的市场需求量（单位：公斤）. 问：在供需平衡情况下（即需求量等于生产量）

（1）该工厂生产两种产品各为多少时，所得的总利润达到最大？此时销售单价各为多少？(4分） （2）现在，拟对A 、B两种产品征税。为了使从这两种产品征得的总税收费达到最大，税务部门应确定A 、B两种产品征收的税率（元 / 公斤）分别为多少？（4分） （3）在总税收费达到最大的方案确定后，消费者在购买一公斤A 产品和一公斤B 产品

时，各将承担多少税费？ （2分）

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2．设三阶矩阵A 的特征值为11，22，33，对应的特征向量依次为

TTTT1，3，9）, 又 （1（1，1，1）, 2（1，2，4）, 3（1，1，3）,

(1) 将  用 1，2，3 线性表示 ; (2) 求 An, n 为自然数 .

3．设钻头的寿命 ( 即钻头直到磨损报废为止所钻透的地层厚度, 以米为单位 ) 服从参

数为 0.001 的指数分布, 现要打一口深度为2000米的井, 求 : (1) 只需一根钻头的概率 ; (2) 恰好用两根钻头的概率 .

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五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，

第二小题7分，共13分） 1．若级数

得分 阅卷人 n1an 绝对收敛，级数

(bn1n1bn)

收敛.

（1）试证级数

(anbn) 绝对收敛； （4分）

n1（2）若仅知级数 ann1

收敛， 其他条件不变，试举例说明此时结论（1）不成立.（2分）第 11 页，共 12 页

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2．设 A 和 B 均是 n 阶可逆阵, 且存在常数  使 A(AE)B, E 为 n

阶单位阵 , 证明: ABBA .

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