5.1应⽤题中常见的数量关系
1 应⽤题中常见的数量关系学习⽬标:
1、正确理解并掌握单价问题、⼯程问题中三个量之间的数量关系；
2、灵活运⽤数量关系式解决与单价、⼯程相关的数学实际问题，认识数学知识在实际⽣活中的⼴泛应⽤；3、通过学⽣已有的⽣活经验，培养学⽣在实际⽣活中寻找、运⽤数学信息的意识和能⼒。教学重点:
1、理解“单价、总价、数量”三个量之间的关系；
2、通过合作探究的学习⽅法，理解“⼯作总量、⼯作效率、⼯作时间”三个量之间的关系。教学难点：
运⽤数量关系，解决实际⽣活中的问题。教学过程：⼀、情景体验
师：同学们，今天上课之前我们先来看⼏张图⽚（展⽰PPT课件）。
师：这些图⽚都是近年来我国新建的⼀些世界级的⼤⼯程，像世界第⼆长跨海⼤桥——杭州湾跨海⼤桥、世界第⼀⾼塔——⼴州新电视塔、世界上运营速度最⾼的铁路——武⼴⾼速铁路。这些⼯程使得⼈们的⽣活更加⽅便，那么在这些城市建设中会有哪些数学问题呢？除了⼯程建设领域，⽇常⽣活中，每天⼈们都会涉及购物，其中⼜会有哪些数学问题呢？今天我们就⼀起来探究⼀下与单价、⼯程相关的数学问题。（板书课题：应⽤题中常见的数量关系）⼆、思维探索（建⽴知识模型）
（⼀）⽇常⽣活中购物体现的就是数学问题中的单价问题。购买物品⼀共需要的钱叫总价，⼀件商品的钱叫做单价。
三者之间的关系：单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价展⽰例1：
例1：已知篮球、⾜球、排球平均每个36元，篮球⽐排球每个多10元，⾜球⽐排球每个多8元，每个⾜球多少元？师：“篮球、⾜球、排球平均每个36元”，你能得到什么信息？
⽣：36元是平均数，因此篮球+⾜球+排球的总价就等于36×3=108（元）。师：已知⼀个篮球⽐排球多10元，⼀个⾜球⽐排球多8元，篮球、⾜球都与排球有关，⼜知道三种球的总价是108元，想⼀想，你会怎么做？学⽣思考
师引导：可以把排球看成是1倍量，利⽤画线段图解决。师引导学⽣画出线段图
师：根据线段图，3个1倍量加上18元就等于108元，因此可以算出1倍量，即排球的价钱是（108-18）÷3=30（元）。⼀个⾜球⽐排球多8元，所以⼀个⾜球的价钱就是30+8=38（元）。
师⼩结：已知⼏个量之间的和与差，通常能通过画线段图，利⽤数形结合的⽅法解决问题。学⽣⾃主完成即学即练，师再集体订正讲解。展⽰例2：
例2：商店以每双12元购进200双凉鞋，卖到还剩下10双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利260元，问：这批凉鞋的售价是多少元？
单价数量总价购进12元200双2400元卖出？（200-10）双2660元
师：碰到这种进价、售价问题，数据较多时可通过列表来帮助分析。师引导学⽣画出表格，根据题⽬条件填⼊相关数据。师：以每双12元的价钱购进200双凉鞋，你能求出什么？⽣：知道购进的单价和数量，可以先求出购进时的总价是多少。
师：很好，我们可以⽤“单价×数量=总价”来计算，即12×200=2400（元）。师：算出了购进时的总价了，我们接下来可以得到什么呢？
⽣：因为除去所有开销还获利260元，所以我们可以得到卖出凉鞋的总价：2400+260=2660（元）
师：⾮常好，“卖到还剩下10双”是什么意思呢？
⽣：说明还有10双没有卖，只卖掉了200-10=190（双）。
师：对，这是这个问题的关键所在，要弄清楚这⾥的2660元是190双凉鞋的总价，所以要求卖出凉鞋的单价是不是就很简单了，根据“单价=总价÷数量”来进⾏计算，并完成这个表格。（学⽣⾃主完成，汇报结果）学⽣⾃主完成即学即练，师再集体订正讲解。展⽰例3：
例3：甲、⼄、丙三⼈拿出同样多的钱买⼀批苹果，分配时甲、⼄都⽐丙多拿24千克，结账时，甲和⼄都要付给丙24元，每千克苹果多少元？
师：读完题后，你们能得到什么信息？学⽣举⼿发⾔
师引导：举个例⼦，⼀本书2元钱，三个⼈都拿出10元钱买书，每⼈买到的书就都是5本，数量相等。既然如此，本题中苹果的单价是固定的，三⼈拿出同样多的钱买苹果，分到的苹果数量就应该相等。⽽实际上分配时，甲⼄都⽐丙多拿24千克，也就是多出24×2=48（千克）的苹果。这48千克苹果平均分给三⼈，每⼈应该得48÷3=16（千克）。因为丙没有分到这16千克苹果，所以得到甲⼄给他的24×2=48（元）钱。即16千克苹果的总价是48元，因此每千克苹果的价钱是48÷16=3（元）。学⽣⾃主完成即学即练，师再集体订正讲解。（⼆）⼯程问题
主要是研究⼯作总量、⼯作效率与⼯作时间之间的数量关系。要完成的任务叫⼯作总量，单位时间的⼯作量叫做⼯作效率。它们三者之间的关系：⼯作效率×⼯作时间=⼯作总量⼯作总量÷⼯作效率=⼯作时间⼯作总量÷⼯作时间=⼯作效率展⽰例4：
例4：⼀个筑路队要筑1680⽶长的路。已经筑了15天，平均每天筑60⽶。其余的12天筑完，余下的平均每天筑多少⽶？师：已经修了15天，平均每天修60⽶，能求出已经修了多少⽶路吗？⽣：⼯作效率×⼯作时间=⼯作总量，60×15=900（⽶）师：所以余下多少⽶路没有修？⽣：1680-900=780（⽶）
师：余下的780⽶路要在12天修完，因此每天要修多少⽶？⽣：⼯作总量÷⼯作时间=⼯作效率，780÷12=65（⽶）
学⽣⾃主完成即学即练，师再集体订正讲解。展⽰例5：
例5：甲、⼄两队同时开凿⼀条长770⽶的隧道。甲队从⼀端起，每天开凿10⽶；⼄队从另⼀端起，每天⽐甲队多凿2⽶。两队距中点多远的地⽅会合？师：已知甲队每天凿10⽶，⼄队每天⽐甲队多凿2⽶，⼄队每天凿⼏⽶？⽣：10+2=12（⽶）
师：题⽬说两队同时开凿这条隧道，那么⼀天甲⼄两队可以开凿多少⽶？⽣：10+12=22（⽶）
师追问：既然两队⼀天共凿22⽶，那么开凿这条770⽶的隧道，需要多长时间，即两队会合的时间，能求出来吗？⽣：770÷22=35（天）
师：题⽬问题是两队距中点多远的地⽅会合，我们可以先算出会合时甲（或⼄）开凿了多少⽶，然后再和中点做⽐较。甲35天凿：10×35=350（⽶）⼄35天凿：12×35=420（⽶）从甲端到中点处：770÷2=385（⽶）从⼄端到中点处：385⽶
会合处距离中点：385-350=35（⽶）会合点距离中点：420-385=35（⽶）学⽣⾃主完成即学即练，师再集体订正讲解。展⽰例6：
例6：加⼯⼀批零件，原计划每天加⼯80个，正好如期完成任务。由于改进了⽣产技术，实际每天加⼯100个，这样，不仅提前4天完成加⼯任务，⽽且还多加⼯了100个。他们实际加⼯零件多少个？师：之前⼤家遇到过这种类型的题⽬没？学⽣回答
师：这⼀类型的题⽬，如果只从⽂字上⾯去理解，不太容易解决问题。今天⽼师教⼤家⼀个新⽅法——借助矩形图来帮助分析题⽬。
题⽬说，原计划每天加⼯80个，正好如期完成任务。⾸先画出⼀个矩形，⽔平边表⽰原计划每天加⼯的80个，竖直边表⽰原计划⽣产的天数，这个矩形的⾯积就表⽰原计划的⽣产量。再画⼀个矩形，⽔平边表⽰实际每天加⼯的100个，竖直边表⽰实际⽣产的天数，它的⾯积表⽰实际的⽣产量。（注意，⽔平边和竖直边要与原来的矩形重合）。实际提前4天完成，在图上标注出4天。实际⽐原来还多加⼯100个，⽤黄⾊部分表⽰多出的100个。因为加⼯的都是同⼀批零件，加⼯总量是⼀样的，所以两个矩形的⾯积（表⽰实际产量的矩形⾯积要去掉多出的100个）相等，除去重叠的部分，剩下的两个绿⾊阴影部分⾯积也相等。
观察矩形图，可知其中⼀个绿⾊部分矩形的⼀边是4，另⼀边是80，⾯积=4×80=320，因此另⼀个绿⾊部分⾯积也是320。320+100=420,⾯积是420的矩形竖直边表⽰实际⽣产天数，⽔平边表⽰实际每天⽐原计划多加⼯的20个，已知⾯积和其中⼀条边，就可以求出另⼀条边，即实际⽣产天数为420÷20=21（天）。
实际每天加⼯100个，⽣产21天，所以实际加⼯零件数是100×21=2100（个）。师⼩结：矩形图的应⽤⽐较⼴泛，先弄清楚画法，再熟悉具体解法，熟能⽣巧。五、总结
通过这节课的学习，你收获了什么？