八上培优：角平线专题
三角形内外角平分线的概念是处理与角相关问题的基本依据和方法，在中考题中经常利用角平分线的性质去证明线段、角相等或三角形全等.随着课改的深入，中考的题型也发生了变化.利用角平分线的对称性把图形翻折，再进行推理计算；以及与角平分线有关的探究题、综合题成为近几年中考的热点题型. [例1]把一副学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x轴于G，O是AC中点，AC＝8．
（1）把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α度（0≤α＜90°）得图2，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F、H、B三点的坐标；
（2）如图3，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N+∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值．
[例2]如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.
（1）求证：CE＝CF．
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
[例3]如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，从C点向BD的延长线作垂线，垂足为E．求证：BD＝2CE．
[例4]如图1，在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于点D．
（1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC． ①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹； ②求证：∠BPC＝∠BAC；
（2）如图2，若Q是线段AD上异于A，D的任意一点，判断QB+QC与AB+AC的大小，并予以证明．
[例5]如图，已知△ABC中，AB=AC,∠A=90,BD平分∠ABC,求证：BC=AB+AD
变式：如图，已知△ABC中，AB=AC,∠A=108,BD平分∠ABC,求证：BC=AB+CD
巩固练习：
1.（2018秋•新洲区期末）如图，直线MN与直线PQ相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，若∠AOB＝80°，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，试求出∠AEB的度数；
（2）如图2，若∠AOB＝90°，点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，AD、BC交于点F．∠ADC和∠BCD的角平分线相交于点E，
①点AB在运动的过程中，∠F的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．
②点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．
2. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD．
3. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
4.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．
5.如图，已知△ABC中，AB=AC,∠A=100, BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD
6.（2018秋•江汉区校级月考）已知△ABC是等边三角形，AB＝6．
（1）如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，求∠AGF的度数；
（2）如图2，点M是BC延长线上一点，∠AMN＝60°，MN交△ABC的外角平分线于点N，求CN﹣CM的值；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边△CPQ，连DQ，则DQ的最小值是 ．
7.（2018秋•南川区校级月考）如图：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．则∠B＝ ．