§3 双曲线
3．1 双曲线及其标准方程
1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)
教材整理1 双曲线的定义
阅读教材P78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．
我们把平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．
定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
x2y2
1．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是( )
259A．17 C．7或17
B．7 D．2或22
【解析】 由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10.解得|PF2|＝2或|PF2|＝22. 【答案】 D
x2y2
2．设F1，F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦
1620点F2的距离．
【解】 因为a＝4，所以2a＝8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为c＝a＋b＝36，所以|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF2|＝17.
教材整理2 双曲线的标准方程
阅读教材P79“例1”以上的部分，完成下列问题．
2
2
2
焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2y2－＝1 a2b2标准方程 (a>0，b>0) 焦点在x轴上 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) y2x2－＝1 a2b2(a>0，b>0) 焦点在y轴上 (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
x2y2
1．双曲线－＝1的焦点坐标为________．
416【解析】 c＝a＋b＝20，∴c＝25， ∵焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)
2．若a＝3，b＝4，则双曲线的标准方程是________________．
x2y2
【解析】 当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方
916y2x2
程为－＝1.
916
【答案】
x2y2y2x2－＝1或－＝1 916916
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________
2
2
2
双曲线的定义及应用 下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)． ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|－|PF2|＝2的点P的轨迹为双曲线； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；
④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线．
【自主解答】 ①2＜2，故点P的轨迹是双曲线的一支；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P的轨迹不存在；④点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离为以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点的双曲线．
【答案】 ②④
x2y2
如图331，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
916
－3－
＋－1－
＝5＜8，故点P的轨迹是
图331
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．
1
(2)欲求△F1PF2的面积，可考虑用|PF1||PF2|sin∠F1PF2求解，只要求出∠F1PF2的正弦值即可．而△F1PF2
2的三边中，|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．
x2y2
【自主解答】 双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.
916
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|＋|PF2|＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
由△F1PF2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
cos∠F1PF2＝
2|PF1|·|PF2|＝
100－100
＝0，
2|PF1|·|PF2|
2
2
2
2
∴∠F1PF2＝90°，
11
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
22
1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
x2y2
1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2
916的面积．
【导学号：32550081】
x2y2
【解】 由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
916由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 所以10＝(|PF1|－|PF2|)＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝，
113
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝××＝163.
222
求双曲线的标准方程 根据下列条件求双曲线的标准方程． x2y2
(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
169(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．
【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)． y2x2
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
a2b2将点A(4，－5)代入双曲线方程得 251622
－＝1，又a＋b＝9， a2b2
解得a＝5，b＝4.
2
2
2
2
2
2
2
y2x2
∴双曲线的标准方程为－＝1.
54法二：(定义法)
由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上， 则2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25， ∴a＝5，∴b＝c－a＝9－5＝4. y2x2
即双曲线的标准方程为－＝1.
54(2)法一：若焦点在x轴上，
x2y2
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
a2b2因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上， 11a2－b2＝1，所以－52
－a2b2＝1，若焦点在y轴上，
y2x2
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
a2b211
－＝1，a2b2
同理有52－
－a2b2＝1，a2＝－7，
解得7
b2＝－8
2
2
2
7a2＝，8解得b2＝7.
2
(不合题意，舍去)．
x2y2
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
778
法二：设所求双曲线的方程为mx＋ny＝1(mn＜0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
2
m＋n＝1，
4m＋25n＝1，
解得1
n＝－7.
8m＝，7
x2y2
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
778
求双曲线标准方程的常用方法：
(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．
x2y2
【解】 (1)因为焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为点(4，－2)
a2b2
和(26，2
2)在双曲线上，所以248
a2－b2＝1
1
－＝1a2b2
a2＝8
，解得
b2＝4
.故所求双曲线的标准方程是
x2y2
－＝84
1.
y2x2
(2)因为焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为－＝1(a＞0，b＞0)．由a＝25，且点A(2，
a2b2
a＝25
－5)在双曲线上，可得254
－＝1a2b2
y2x22
，解得b＝16.因此，所求双曲线的标准方程为－＝1.
2016
求双曲线的轨迹方程 已知动圆M与圆C1：(x＋4)＋y＝2外切，与圆C2：(x－4)＋y＝2内切，求动圆圆心M的轨迹
方程．
【导学号：32550082】
【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．
2222
【自主解答】 如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，
∴|MC1|－|MC2|＝22. 又C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴|C1C2|＝8， ∵22＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a＝2，c＝4，∴b＝c－a＝14， x2y2
∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥2)．
214
1．本题易忽略|MC1|－|MC2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x≥2”这一条件．
2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．
1
3．在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝sin A．求点A的轨迹．
2
11
【解】 在△ABC中，sin B－sin C＝sin A，∴|AC|－|AB|＝|BC|.又∵B(4,0)，C(－4,0)，∴|BC|
22＝8.
∴|AC|－|AB|＝4＜|BC|.
x2y2
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(除去与B，C共线的一点)．其方程为－＝1(x＞2)．
412
双曲线的定义 探究1 双曲线定义中的“的绝对值”能否去掉？ 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．
2
2
2
当P满足0<|PF1|－|PF2|<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF2|－|PF1|<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的另一支；当|PF1|－|PF2|＝±|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线，||PF1|－|PF2||不可能大于|F1F2|.
探究2 设点M是双曲线上的任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF1|－|MF2|的符号？
【提示】 若点M在双曲线的右支上，则|MF1|＞|MF2|，故|MF1|－|MF2|＝2a；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，故|MF1|－|MF2|＝－2a，综上得|MF1|－|MF2|＝±2a，这是与椭圆不同的地方．
双曲线的标准方程 x2y2y2x2探究1 双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)和－＝1(a＞0，b＞0)有何异同点？
a2b2a2b2【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a＞0，b＞0和c＝a＋b. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．
探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】
2
2
2
椭圆 到两个定点F1，F2的距离之和双曲线 到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为定值(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2定义 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 标准方程 (焦点在 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2x轴时) x2y2 设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，则此双曲
2736
线的标准方程为________．
【导学号：32550083】
【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将x2y2
方程设为＋＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．
27－λ36－λ
x2y2
【自主解答】 由题意设双曲线方程为：＋＝1(27＜λ＜36)，
27－λ36－λy2x2
将A(±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为－＝1.
45【答案】
y2x2－＝1 45
x2y2
4．已知某双曲线与－＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．
1
【导学号：32550084】
【解析】 设双曲线的方程为
x2y2
－＝1(－4＜k＜16)． 16－k4＋k
将点(32，2)代入得k＝4， x2y2
所以双曲线的标准方程为－＝1.
128【答案】
x2y2－＝1 128
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) x2y2
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( )
a2b2(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． x2y2
(2)－＝1中，a＜0，b＜0也可以． a2b2
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×
x2y2
2．双曲线－＝1的焦距为( )
97A.2 C.4
【解析】 c＝a＋b＝9＋7＝16， ∴c＝4，∵焦距为2c＝8， 【答案】 D
→→x2y2
3．已知点F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线上的一点，且PF1·PF2＝
a2b20，则△PF1F2的面积为( )
A．ab C．b
2
2
2
2
B．22 D．8
1B．ab 2D．a
2
【解析】 由题意知||PF1|－|PF2||＝2a.① |PF1|＋|PF2|＝4c.② ②－①，得|PF1||PF2|＝2b， 12
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝b.
2【答案】 C
4．双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程为________． a＋c＝9
【解析】 由b＝3
c2＝a2＋b2∵焦点在x轴上，
x2y2
∴双曲线标准方程为－＝1.
169【答案】
x2b2－＝1 169
2
2
2
2
2
a＝4，得
c＝5
，
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知焦点F1(0，－6)，F2(0,6)，双曲线上的一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于8； (2)c＝6，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y轴上， y2x2
∴设它的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
a2b2∵2a＝8,2c＝12，∴a＝4，c＝6，∴b＝6－4＝20. y2x2
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
1620
2
2
2
x2y2
(2)设双曲线的标准方程为－＝1.
a2b2∵c＝6，∴b＝c－a＝6－a.
254254222
由题意知－＝1，∴－＝1，解得a＝5或a＝30(舍去)．∴b＝1.
a2b2a26－a2x22
∴双曲线的标准方程为－y＝1.
5
我还有这些不足：
(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)________________________________________________ (2)________________________________________________
2
2
2
2