2012数学建模B题论文

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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太阳能小屋的设计

摘要

在太阳能小屋外铺设光伏电池时，为使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，

而单位发电量的费用尽可能小，需要根据房屋的设计、光伏电池与逆变器的匹配、成本以及各面的单位面积总辐射强度等因素来选择铺设方案。

问题一：本模型的建立是为了找出贴附安装条件下，满足年总电量尽可能大、单位发电量成本尽可能少的最优解，即多目标优化问题。

首先综合分析各种条件以及目标，选出合适的数据，然后根据不同表面对太阳辐射能量的吸收，列出不同平面上电池板对辐射吸收的表达式。

在实际建模过程中，为了简化计算，本模型采用了分步分块的计算方法。首先利用附件3，计算出24种型号电池的电阻、安装面积、电池组件价格等要素，同时利用Matlab程序根据材料要求计算出各方向上不同辐射值段（30w~80w、80w~200w、200w~1000w）单位面积年总辐射能量，而后分块在各个方向上建立总发电量、总成本、单位电量成本、各类约束条件的数学表达式，分步选择最优解，计算发电总量、经济效益及回收年限等。

所得结论为只能在南顶安装，且选择31块B5电池，一个SN15逆变器，总成本为130500元，总发电量为290400kw·h，回收年限为28年。

问题二：模型二的建立是为了找出架空安装时的最优解。首先分析出铺设方式（图一），然后建立单位面积电池板年度所受辐射总能量与电池板倾角的函数关系，利用Matlab程序求解得出最佳电池板倾角为47.862°。最后综合问题一中的模型，得出本题中的模型。

所得结论为只能在南顶安装，且选择24块B3电池，一个SN14逆变器，总成本为78300元，总发电量为218110kw·h，回收年限为23年。

问题三：根据附件7所给条件，利用SolidWorks-2007设计房屋（图三），参考模型一、二，修改相应数据建立模型三，得到小屋外表面铺设光伏电池的优化方案。

所得结论为只能在南顶和南墙安装，且南顶选择35块B3电池，一个SN15逆变器，总成本为113875元，总发电量为300730kw·h，回收年限为26年；南墙选择14块B5电池，一个SN7逆变器，总成本为59200元，总发电量为123880kw·h，回收年限为31年。

本模型是在一定的假设条件下建立的，稍显不足，需要考虑更加实际的情况加以优化。然而本模型假设合理，考虑较为充分，更以数据为基础进行分析，稳定性较好。 关键词：太阳能小屋 多目标优化 分步分块 年总辐射能量 架空安装

1

一、问题重述

在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池

组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。

在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。

在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。 问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。

附件1：光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求 附件2：给定小屋的外观尺寸图

附件3：三种类型的光伏电池（A单晶硅、B多晶硅、C非晶硅薄膜）组件设计参数和市场价格

附件4：大同典型气象年气象数据。特别注意：数据库中标注的时间为实际时间减1小时，即数据库中的11:00即为实际时间的12:00 附件5：逆变器的参数及价格 附件6：可参考的相关概念 附件7：小屋的建筑要求

二、问题分析

本文所建模型的主要任务是在已知约束条件下找出最佳光伏电池组合以及与之相匹配的逆变器和铺设方式以满足最大利益要求（小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小）。本题所牵涉的数据包括各类电池参数、各类逆变器参数、山西大同一年中各时刻的各类太阳辐射量等，约束条件多、数据量大。对于三个问题的分析如下：

问题一是要找出贴附安装方式的最优解。各个墙面的电池安装，其正面均垂直于地面，因此只需考虑各个平面上的总辐射量；屋顶上的铺设是成一定的已知角度，此处需

2

要考虑几何关系。因此，不同平面的铺设，其总辐射强度的表达式不一样。

对大同典型气象年的辐射数据进行分析，可以发现，超过1000w/㎡的数据所占比例较少，为了不影响整体的最优解，需加以约束。对此，可以设定一个安全辐射强度值。

由于模型约束条件众多，本题可以采用分步分块计算的方法加以简化。首先利用附件3，计算出24种型号电池的电阻、安装面积、电池组件价格等参数（表一），同时利用Matlab程序根据材料要求计算出各平面上不同辐射值段（30w-80w、80w-200w、200w-1000w）单位面积年总辐射能量。而后再逐个分析各个面的最优解。

在分析过程中，考虑电压、功率、面积等约束选用不同的光伏电池，考虑转化率以及启动发电辐射强度，建立目标函数。当各个面的最优解得出之后，总的最优方案也随之而出，此时即可得到小屋寿命期内的总发电量、经济效益与回收年限。

问题二需考虑光伏电池的架空式铺设。为求得电池板的最佳倾斜角度，可以建立一个以电池板的倾角为自变量，全年的辐射强度总值为因变量的模型函数，然后利用Matlab软件求解最佳倾角。经分析，屋顶采用架空式而墙面采用贴附式。此时与问题一一样，逐步分析，结合问题一模型即可得出屋顶的最优解，解决问题二。

问题三中，首先根据附件7设计出一个合适的房屋模型，对于屋顶设计，考虑屋顶泻水最畅，北向面屋顶的倾角定为45°[4]，南向面屋顶的随之确定。对于小屋的外表面光伏电池优化铺设，可参考问题一、二，修改模型参数即可解决。

三、模型假设

1、附件4中每个时刻所指的各方向上的辐射强度均为未来一小时内的辐射强度，如1月1日时刻1表示1月1日时刻1到1月1日时刻2之间的平均辐射强度。

2、屋顶天窗由于有高度差影响，阳光照射有阴影，但高度差并不大，投影面积较小，在此忽略其阴影影响。

3、逆变器可以放在房屋里面，不考虑在房屋顶和墙壁的面积占用。 4、温度对电池板的工作产生的影响忽略不计。 5、电池板在使用期间，不遭受特大袭击（如雷击），即其始终能工作。 6、电池板在使用期间，由于时间变化所造成的损耗均计算与折算效率内。

7、35年的太阳辐射值均以附件4为准，不同年间当地温度、气候等不发生变化。 8、电路安装时，电池板考虑的电压为开路电压。

9、本题所给的标准光照条件为1000w/㎡，故为了保护电路，其保险会在光照强度大于1000w/㎡时自动断开电路。

10、房屋侧墙只允许在矩形范围内安装电池板，三角形部分不予考虑。

四、符号说明

Voci为第i型号电池的开路电压； Isci为第i型号电池的短路电流； Ri为第i型号电池的内阻； Mdi为第i型号电池的单价； Wi为第i型号电池的组件功率； Si为第i型号电池的组件正面面积； Mi为第i型号电池的单位峰瓦价格；

为时角；表示赤纬角；为太阳高度角；40.1表示当地纬度；

ti表示时刻;Ti表示小时数;

3

n表示日期序号（1月1号，n=1;3月22日，n=81）；

F1表示水平总辐射强度；F2表示水平散射辐射强度；F3表示法相直射辐射强度；

为南向屋顶的倾角；为北向屋顶的倾角；

DNF表示南顶某一个时刻的辐射强度；DBF表示北顶某一个时刻的辐射强度； DBFx、DNFx、DFx、NFx、XFx、WFx分别表示北顶、南顶、东墙、南墙、西墙、架空下的屋顶的第x段的辐射总值（第一段为30w/㎡至80w/㎡；第二段为80w/㎡至200w/㎡；第三段为200w/㎡至1000w/㎡）；

表示逆变器k的转化效率；i表示电池i的转化率；

kD1i、D2i、D3i、D4i、D5i、D6i表示电池i分别在北顶、南顶、东墙、南墙、西墙、架空下的屋顶的数量；

Si表示电池i的单个表面积；

Fe为安全辐射强度；fe为电池运转临界辐射强度；

MaxVk、MinVk分别表示逆变器k的最大最小输入电压； PNk表示逆变器k的额定功率；pricek表示逆变器k的单价；

ui、Ui分别为电池i的最小最大电压；

BDCB、NDCB、DCB、NCB、XCB、WCB、表示分别在北顶、南顶、东墙、南墙、

西墙、架空下的屋顶的成本和总成本；

BDprofit、NDprofit、Dprofit、Nprofit、Xprofit、Wprofit、Total表示分别在北顶、

南顶、东墙、南墙、西墙、架空下的屋顶的利润以及总利润；

BDP、NDP、DP、NP、XP、WP、Electric表示分别在北顶、南顶、东墙、南墙、西墙、架空下的屋顶的年总电量和小屋总电量；

表示最终目标函数；

f(j)表示第j年后的总收益；

五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解

1)首先，利用附件3中的数据，根据以下公式进行计算： 第i型号光伏电池的价格：Mdi=Mi*Wi 第i型号光伏电池的电阻：Ri=Voci/Isci

第i型号光伏电池的组件正面面积:Si=loni*Widi 在matlab软件用附录一程序计算，得表一

表一、不同型号电池参数 电池电池正面尺寸编号 正面面积（㎡) 价格（元/块） 电阻（） 型号 （mm) 1 A1 1580×808 1.276 3203.5 7.9620 2 A2 1956×991 1.581 4842.5 5.2531

4

3 A3 1580×808 1.276 2980 8.3818 4 A4 1651×992 1.63779 4023 4.2809 5 A5 1650×991 1.63515 3650.5 4.3974 6 A6 1956×991 1.93840 4395.5 5.3148 7 B1 1650×991 1.63515 3312.5 4.2075 8 B2 1956×991 1.93840 4000 5.1721 9 B3 1482×992 1.47014 2625 4.0336 10 B4 10×992 1.62688 3000 4.3617 11 B5 1956×992 1.94035 3500 5.3782 12 B6 1956×992 1.94035 3687.5 5.2625 13 B7 1668×1000 1.66800 3125 4.3234 14 C1 1300×1100 1.43000 480 113.1148 15 C2 1321×711 0.93923 278.4 40.4545 16 C3 1414×1114 1.57520 480 60.0000 17 C4 1400×1100 1.57520 432 91.5873 18 C5 1400×1100 1.21000 480 60.9756 19 C6 310×355 0.11005 19.2 76.2857 20 C7 615×180 0.11070 19.2 18.0000 21 C8 615×355 0.21833 38.4 38.1400 22 C9 920×355 0.32660 57.6 25.4286 23 C10 818×355 0.29039 57.6 29.6667 24 C11 15×712 1.17124 240 31.4286 2)而后，分别对北顶、南顶、东墙、西墙、南墙的年辐射求总和。根据材料要求分别对个方向辐射强度为30w/㎡-80w/㎡,80w/㎡-200w/㎡,200w/㎡-1000w/㎡内的总和。

（ti-12） 15*;

360*(284n) 23.45sin；

365TiTi n1，表示求整；

2424sinsin*sincos*cos*cos； tan123；tan；

716经计算，房屋南顶倾角=10.6197°；北顶倾角=59.7436°

   

5

由几何关系得，每一时刻的辐射强度表达式为：

1cos5DNF（F1-F2）*cosF2*()F3*sin()

21cosDBF（F1-F2）*cosF2*()F3*sin(-)

2通过matlab软件用程序（见附录二）求得各段辐射强度总和为

表二、房屋周围太阳年能量输出情况（kw·h/㎡) x 北顶DBFx 南顶DNFx 东面DFx 南面NFx 35.701 137.48 869.17 西面XFx 77.666 100.79 635.95 1（30-80） 23.038 21.474 56.273 2（80-200） .322 92.2 118.96 3（200-1000） 190. 1019 403.44 从而得出北顶的年总电量（kw·h)为 DBF30.05*DBF2(i1...6)DBPk*D1i*Si*i*DBF3DBF2(i7...13))

DBF31.01（*DBF2DBF1）(i14...24)（注：i表示用到的第i种型号的电池，k表示用到的第k种逆变器）

在这种条件下，需满足以下条件：

D1i*uiMinVkD1i*1000*1000*PNkiUiMaxVk

D1i*Si13.24*10100ui280W/m,i1...13fe*Si*i*Ri,fe 230W/m,i14...24UiFe*Si*i*Ri,Fe1000W/m2

对于北顶的成本为：BDCBD1i*Mdipricek

北顶35年的经济效益BDprofitBDP*(100.9*150.8*10)*0.5BDCB，因为要使总电量尽可能大，而单位发电量成本尽可能小，为了同时满足这两个目标条件，设一

个新的函数为

BDPBDP2，当这个函数最大时，所选用的光伏电池的型号和数量以及逆变

BDCB()BDCBBDP器的型号参数确定，至此算出35年来的纯利润BDprofit。 若BDprofit0，则北顶可以按此种方式进行安装；

若BDprofit0，则北顶不可以安装，令BDCB0，BDP0。

6

分析南顶，南顶年总电量（kw·h)为:

DNF30.05*DNF2(i1...6) DNPk*D2i*Si*i*DNF3DNF2(i7...13)DNF31.01（*DNF2DNF1）(i14...24)D2i*uiMinVkD2i*1000*1000*PNki UiMaxVkD2i*Si6511.53*10100-3600*1360南顶成本为NDCBD2i*Mdipricek；

南顶35年的经济效益NDprofitNDP*(100.9*150.8*10)*0.5NDCB

NDPNDP2当最大时，若NDprofit0，则可以在南顶安装；

NDCBNDCB()NDP若NDprofit0，则不可在南顶安装，令NDCB0，NDP0。 分析东墙，东墙年总电量（kw·h)为:

DF30.05*DF2,i1...6DPk*D3i*Si*i*DF3DF2,i7...13

（*DF2DF1）,i14...24DF31.01D3i*uiMinVkD3i*1000*1000*PNki UiMaxVkD3i*Si7100*3200-1100*2500东墙成本为DCBD3i*Mdipricek；

东墙35年的经济效益DprofitDP*(100.9*150.8*10)*0.5DCB

DPDP2当最大时，若Dprofit0，则可以在东墙安装； DCBDCB()DP若Dprofit0，则不可在东墙安装，令DCB0，DP0。 分析南墙，南墙年总电量（kw·h)为:

NF30.05*NF2,i1...6NPk*D4i*Si*i*NF3NF2,i7...13

（*NF2NF1）,i14...24NF31.01

7

D4i*uiMinVkD4i*1000*1000*PNki UiMaxVkD4i*Si10100*32003600*25001100*14001800*1800南墙成本为NCBD4i*Mdipricek；

南墙35年的经济效益NprofitNP*(100.9*150.8*10)*0.5NCB

NPNP2当最大时，若Nprofit0，则可以在南墙安装； NCB()NCBNP若Nprofit0，则不可在南墙安装，令NCB0，NP0。 分析西墙，西墙年总电量（kw·h)为:

XF30.05*XF2,i1...6XPk*D5i*Si*i*XF3XF2,i7...13

（*XF2XF1）,i14...24XF31.01D5i*uiMinVkD5i*1000*1000*PNki UiMaxVkD5i*Si7100*3200西墙成本为XCBD5i*Mdipricek；

西墙35年的经济效益XprofitXP*(100.9*150.8*10)*0.5XCB

XPXP2当最大时，若Xprofit0，则可以在西墙安装； XCB()XCBXP若Xprofit0，则不可在西墙安装，令XCB0，XP0。 综上所述，35年总电量ElectricDBPDNPDPXPNP 总成本BDCBNDCBDCBNCBXCB

经济效益TotalBDprofitNDprofitDprofitNprofitXprofit 回收年限的求解可以表示为：

j,j10f(j)0.5*Electric*j,j0.9*(j10)1,11j25，f(j)表示第j年后的

0.8*(j25)14.5,26j35

8

总收益，当f(j)0时，不小于j值的最小整数即为回收年限。

根据附录六程序计算得： 表三 铺设面 北顶 南顶 东墙 南墙 西墙 电池型号 B5 B5 B5 B3 B3 逆变器型号 SN4 SN15 SN7 SN7 SN7 电池块数 7 31 10 12 15 总成本(元） 31400 130500 45206 41710 44331 总发电量(kw·h） 17270 290400 45630 80454 73603 单位成本（元/kw·h) 1.8180 0.4494 0.9907 0.5184 0.6023 总效益（元） 无 14700 无 无 无 回收年限 无 28 无 无 无 5.2问题二的模型建立与求解

因为是架空安装，首先明确架空方式如图：

图一

然后要对最佳的光伏电池安装角度进行模型求解。对于光伏电池的安装角度最优解，本文考虑在不同的安装角度下求解全年的总辐射强度。

在南向屋顶，建立模型为

31cos,) DNF（(F1-F2）*cosF2*()F3*sin())，(arctan1622i18760当DNF最大时，对应的即为最佳角度。 根据matlab求解（见附录3），得47.862

然后即可仿照问题一的模型进行求解，此时墙面方案不变，只考虑屋顶的改变。

首先求得屋顶30-80w/㎡、80-200w/㎡、200-1000w/㎡各阶段的辐射强度下的年能量辐射总值。

1cos（F1-F2）*cosF2*()F3*sin()在matlab中利依然根据公式WF2用附录4程序计算可得

表四：房屋周围太阳年能量输出情况（kw·h/㎡)

x 屋顶WFx 1（30-80） 18.181

9

2（80-200） 88.93 3（200-1000） 1217.3 WF30.05*WF2,i1...6屋顶总电量WPk*D6i*Si*i*WF3WF2,i7...13

（*WF2WF1）,i14...24WF31.01D6i*uiMinVkD6i*1000*1000*PNki UiMaxVkD6i*Si7100*10100*cos屋顶成本为WCBD6i*Mdipricek；

屋顶35年的经济效益WprofitWP*(100.9*150.8*10)*0.5WCB

WPWP2当最大时，若Wprofit0，则可以在屋顶以此角度、此方法安装； WCBWCB()WP若Wprofit0，则不可在西墙安装，令WCB0，WP0。 综问题一、二所述，35年总电量ElectricWPDPXPNP 总成本WCBDCBNCBXCB

经济效益TotalWprofitDprofitNprofitXprofit 回收年限的求解可以表示为：

j,j10f(j)0.5*Electric*j,j0.9*(j10)1,11j25，f(j)表示第j年后的

0.8*(j25)14.5,26j35总收益，当f(j)0时，不小于j值的最小整数即为回收年限。

得出最优解为： 表五 铺设面 南顶 电池型号 B3 逆变器型号 SN14 电池块数 24 总成本(元） 78300 总发电量(kw·h） 218110 单价（元/kw·h) 0.3590 总效益（元） 30750 回收年限 23 5.3问题三

此问中，我们所设计的小屋规格如下：

屋子坐北朝正南，长12m、宽6m，墙高3m，屋顶最高点距地面5.4m，屋顶的横截面为底边6m，高2.4m，南向屋顶长于北向屋顶的三角形墙上窗户的安置： 正南面：2个 2.5*1.5㎡

10

正北面：1个 2.5*1.5㎡ 正东面：1个 2.5*1.5㎡ 正西面：1个 2.5*1.5㎡

屋顶最高点距北门墙壁的距离为2.4m 东、南、西、俯四个方向的视图如下：

图二

图三

接着考虑模型建立，首先选择贴附安装，可参照问题一的模型建立。

2.4tan；45。 3.6

    由几何关系得，每一时刻的辐射强度表达式为：

11

1cosDNF（F1-F2）*cosF2*()F3*sin()

21cosDBF（F1-F2）*cosF2*()F3*sin(-)

2通过matlab软件用程序（见附录五）求得各段辐射强度总和为

表六 房屋周围太阳年能量输出情况（kw·h/㎡) x 北顶DBFx 南顶DNFx 东面DFx 南面NFx 35.701 137.48 869.17 西面XFx 77.666 100.79 635.95 1（30-80） 23.6 20.058 56.273 2（80-200） 96.334 87.290 118.960 3（200-1000） 433.16 1147.9 403.440 从而得出北顶的年总电量（kw·h)为 DBF30.05*DBF2(i1...6)DBPk*D1i*Si*i*DBF3DBF2(i7...13))

DBF31.01（*DBF2DBF1）(i14...24)D1i*uiMinVkD1i*1000*1000*PNki UiMaxVkD1i*Si12000*2400*2 北顶的成本为：BDCBD1i*Mdipricek

北顶35年的经济效益BDprofitBDP*(100.9*150.8*10)*0.5BDCB，

BDPBDP2，当这个函数最大时，所选用的光伏电池的型号和数量以及逆变

BDCBBDCB()BDP器的型号参数确定，至此算出35年来的纯利润BDprofit。 若BDprofit0，则北顶可以按此种方式进行安装；

若BDprofit0，则北顶不可以安装，令BDCB0，BDP0。 分析南顶，南顶年总电量（kw·h)为:

DNF30.05*DNF2(i1...6) DNPk*D2i*Si*i*DNF3DNF2(i7...13)DNF31.01（*DNF2DNF1）(i14...24) 12

D2i*uiMinVkD2i*1000*1000*PNki UiMaxVkD2i*Si12000*3.622.42南顶成本为NDCBD2i*Mdipricek；

南顶35年的经济效益NDprofitNDP*(100.9*150.8*10)*0.5NDCB

NDPNDP2当最大时，若NDprofit0，则可以在南顶安装；

NDCB()NDCBNDP若NDprofit0，则不可在南顶安装，令NDCB0，NDP0。 分析东墙，东墙年总电量（kw·h)为:

DF30.05*DF2,i1...6DPk*D3i*Si*i*DF3DF2,i7...13

（*DF2DF1）,i14...24DF31.01D3i*uiMinVkD3i*1000*1000*PNki UiMaxVkD3i*Si6000*30002500*1500东墙成本为DCBD3i*Mdipricek；

东墙35年的经济效益DprofitDP*(100.9*150.8*10)*0.5DCB

DPDP2当最大时，若Dprofit0，则可以在东墙安装； DCB()DCBDP若Dprofit0，则不可在东墙安装，令DCB0，DP0。 分析南墙，南墙年总电量（kw·h)为:

NF30.05*NF2,i1...6NPk*D4i*Si*i*NF3NF2,i7...13

（*NF2NF1）,i14...24NF31.01D4i*uiMinVkD4i*1000*1000*PNki UiMaxVkD4i*Si12000*30002*1500*2500

13

南墙成本为NCBD4i*Mdipricek；

南墙35年的经济效益NprofitNP*(100.9*150.8*10)*0.5NCB

NPNP2当最大时，若Nprofit0，则可以在南墙安装； NCBNCB()NP若Nprofit0，则不可在南墙安装，令NCB0，NP0。 分析西墙，西墙年总电量（kw·h)为:

XF30.05*XF2,i1...6XPk*D5i*Si*i*XF3XF2,i7...13

（*XF2XF1）,i14...24XF31.01D5i*uiMinVkD5i*1000*1000*PNki UiMaxVkD5i*Si6000*30002500*1500 西墙成本为XCBD5i*Mdipricek；

西墙35年的经济效益XprofitXP*(100.9*150.8*10)*0.5XCB

XPXP2 当最大时，若Xprofit0，则可以在西墙安装； XCBXCB()XP若Xprofit0，则不可在西墙安装，令XCB0，XP0。 综上所述，35年总电量ElectricDBPDNPDPXPNP 总成本BDCBNDCBDCBNCBXCB

经济效益TotalBDprofitNDprofitDprofitNprofitXprofit 回收年限的求解可以表示为：

j,j10f(j)0.5*Electric*j,j0.9*(j10)1,11j25，f(j)表示第j年后的

0.8*(j25)14.5,26j35总收益，当f(j)0时，不小于j值的最小整数即为回收年限。

根据程序可得：

14

表七 铺设面 南顶 西墙 东墙 北顶 南墙 电池型号 B3 A3 A3 B3 B5 逆变器型号 SN15 SN7 SN7 SN14 SN7 电池块数 35 11 11 20 14 总成本(元） 113875 42980 42980 67800 59200 总发电量(kw·h） 300730 47721 30478 73666 123880 单位成本总效益回收年（元/kw·h) （元） 限 0.3787 0.9007 1.4102 0.9204 0.4779 390 无 无 无 2740 26 无 无 无 31 五、模型评价

本题由于条件较多，处理起来较为复杂，因此在模型建立时缩小了很多条件范

围。

第一，电池尺寸与实际房屋表面尺寸的没有给予充分考虑，只考虑了面积的，与实际情况存在差距。因此，在模型的优化中，应该进一步尺寸。

第二，电池类型单一化，逆变器每个面只考虑了一个，电池的分组阵列方式受到约束，在使用多种电池的情况下，可能会有更好解。

第三，为了处理逆变器和电池的电压约束，本文考虑了设定安全辐射强度，筛选掉了一部分辐射强度值，而实际情况中，电池对于强光辐射产生的电力更大，这里就出现了误差，因此需要在模型改进中加以优化。

本模型的优点，就是采取分步分块的方法简化计算、解决问题。单块考虑最优解，更能体现整体的最优解，避免整体考虑中的某一墙面亏损使得整体经济效益变少。在每一个面中，因为尺寸，各种电池的选用受到的约束太过复杂，简化为面积因素的，使模型简单很多。

建立角度变量模型，利用统计数据求解最佳角度，而非常规的根据几何计算，更加有效可信。

六、参考文献

[1]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003； [2]韩忠庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005；

[3]杨金焕、毛佳俊、陈中华，不同方位倾斜角上太阳辐射量及最佳倾角计算，上海交通大学学报，第36卷第7期：1032-1036，,2002年；

[4]郭安成，屋顶倾角45°泻水最畅，为什么？，数理天地，09期：2002； [5]未知，太阳能电池培训手册【下】，

http://wenku.baidu.com/view/aaf41a5f312b3169a451a427.html，2012.9.9；

[6]石辛民，郝整清，给予BATLAB的实用数值计算，北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2006；

附录

附录一：电池参数求解

dc=importdata('E:\\dianchicanshu.mat') %数据在E:\\dianchicanshu.mat中 R=zeros(24,1); money=zeros(24,1);

15

area=int32(zeros(24,1));

%R表示电阻，money表示价格，area表示面积 for i=1:1:24

R(i,1)=dc(i,4)/dc(i,5) money(i,1)=dc(i,1)*dc(i,7) area(i,1)=dc(i,2)*dc(i,3) end

附录二：屋顶各面辐射分段年辐射总和

m=importdata('E:\\fusheqiangdu.mat'); %数据在E:\\fusheqiangdu.mat中 %东面

dfsum200=0; dfsum80=0; dfsum30=0; %南面

nfsum200=0; nfsum80=0; nfsum30=0; %西面

xfsum200=0; xfsum80=0; xfsum30=0; %南顶

ndfsum200=0; ndfsum80=0; ndfsum30=0; %北顶

bdfsum200=0; bdfsum80=0; bdfsum30=0;

f=0;n=0;w=0; x1=0; x2=40.1; x3=0; x4=0;

for i=1:1:8760 %东面

if m(i,6)>1000 elseif m(i,6)>=200

dfsum200 = dfsum200 + m(i,6) elseif m(i,6)>=80

dfsum80 = dfsum80 + m(i,6) elseif m(i,6)>=30

16

dfsum30 = dfsum30 + m(i,6) end %南面

if m(i,7)>1000 elseif m(i,7)>=200

nfsum200 = nfsum200 + m(i,7) elseif m(i,7)>=80

nfsum80 = nfsum80 + m(i,7) elseif m(i,7)>=30

nfsum30 = nfsum30 + m(i,7) end %西面

if m(i,8)>1000 elseif m(i,8)>=200

xfsum200 = xfsum200 + m(i,8) elseif m(i,8)>=80

xfsum80 = xfsum80 + m(i,8) elseif m(i,8)>=30

xfsum30 = xfsum30 + m(i,8) end %北顶

w=15*(m(i,1)-12); n=floor(m(i,2)/24)+1;

x3=23.45*sin(360*(284+n)/365);

x1=asin(sin(x2)*sin(x3)+cos(x3)*cos(x2)*cos(w)); x4=atan(12/7);

f=(m(i,3)-m(i,4))*cos(x4)+m(i,4)*((1+cos(x4))/2)+m(i,5)*sin(x1-x4); if f>1000

elseif f>=200

bdfsum200 = bdfsum200 + f elseif f>=80

bdfsum80 = bdfsum80 + f elseif f>=30

bdfsum30 = bdfsum30 + f end %南顶

w=15*(m(i,1)-12); n=floor(m(i,2)/24)+1;

x3=23.45*sin(360*(284+n)/365);

x1=asin(sin(x2)*sin(x3)+cos(x3)*cos(x2)*cos(w)); x4=atan(3/16);

f=(m(i,3)-m(i,4))*cos(x4)+m(i,4)*((1+cos(x4))/2)+m(i,5)*sin(x1+x4); if f>1000

elseif f>=200

17

ndfsum200 = ndfsum200 + f elseif f>=80

ndfsum80 = ndfsum80 + f elseif f>=30

ndfsum30 = ndfsum30 + f end end

附录三 最优角度求解

m=importdata('E:\\fusheqiangdu.mat'); %数据在E:\\fusheqiangdu.mat中 f=0;n=0;w=0; x1=0; x2=40.1; x3=0; x4=0; sum=0; total=0; b=0;

for x4=atan(3/16):0.01:pi/2 for i=1:1:8760 %南顶

w=15*(m(i,1)-12); n=floor(m(i,2)/24)+1;

x3=23.45*sin(360*(284+n)/365);

x1=asin(sin(x2)*sin(x3)+cos(x3)*cos(x2)*cos(w));

f=(m(i,3)-m(i,4))*cos(x4)+m(i,4)*((1+cos(x4))/2)+m(i,5)*sin(x1+x4); sum = sum + f; end

if sum>total total=sum b=x4 end sum=0; end

b=rad2deg(b);

附录四 新角度情况下屋顶辐射强度总和求解

m=importdata('E:\\fusheqiangdu.mat'); %数据在E:\\fusheqiangdu.mat中 sum30=0; sum80=0; sum200=0; f=0;n=0;w=0; x1=0; x2=40.1;

18

x3=0;

x4=deg2rad(47.682); for i=1:1:8760

w=15*(m(i,1)-12); n=floor(m(i,2)/24)+1;

x3=23.45*sin(360*(284+n)/365);

x1=asin(sin(x2)*sin(x3)+cos(x3)*cos(x2)*cos(w));

f=(m(i,3)-m(i,4))*cos(x4)+m(i,4)*((1+cos(x4))/2)+m(i,5)*sin(x1+x4); if f>1000

elseif f>=200

sum200 = sum200 + f elseif f>=80

sum80 = sum80 + f elseif f>=30

sum30 = sum30 + f end end

附录五 新房屋情况下各面辐射强度总和求解

m=importdata('E:\\fusheqiangdu.mat'); %数据在E:\\fusheqiangdu.mat中 %东面

dfsum200=0; dfsum80=0; dfsum30=0; %南面

nfsum200=0; nfsum80=0; nfsum30=0; %西面

xfsum200=0; xfsum80=0; xfsum30=0; %南顶

ndfsum200=0; ndfsum80=0; ndfsum30=0; %北顶

bdfsum200=0; bdfsum80=0; bdfsum30=0;

f=0;n=0;w=0; x1=0; x2=40.1;

19

x3=0; x4=0;

for i=1:1:8760 %东面

if m(i,6)>1000 elseif m(i,6)>=200

dfsum200 = dfsum200 + m(i,6) elseif m(i,6)>=80

dfsum80 = dfsum80 + m(i,6) elseif m(i,6)>=30

dfsum30 = dfsum30 + m(i,6) end %南面

if m(i,7)>1000 elseif m(i,7)>=200

nfsum200 = nfsum200 + m(i,7) elseif m(i,7)>=80

nfsum80 = nfsum80 + m(i,7) elseif m(i,7)>=30

nfsum30 = nfsum30 + m(i,7) end %西面

if m(i,8)>1000 elseif m(i,8)>=200

xfsum200 = xfsum200 + m(i,8) elseif m(i,8)>=80

xfsum80 = xfsum80 + m(i,8) elseif m(i,8)>=30

xfsum30 = xfsum30 + m(i,8) end %北顶

w=15*(m(i,1)-12); n=floor(m(i,2)/24)+1;

x3=23.45*sin(360*(284+n)/365);

x1=asin(sin(x2)*sin(x3)+cos(x3)*cos(x2)*cos(w)); x4=pi/4;

f=(m(i,3)-m(i,4))*cos(x4)+m(i,4)*((1+cos(x4))/2)+m(i,5)*sin(x1-x4); if f>1000

elseif f>=200

bdfsum200 = bdfsum200 + f elseif f>=80

bdfsum80 = bdfsum80 + f elseif f>=30

bdfsum30 = bdfsum30 + f

20

end %南顶

w=15*(m(i,1)-12); n=floor(m(i,2)/24)+1;

x3=23.45*sin(360*(284+n)/365);

x1=asin(sin(x2)*sin(x3)+cos(x3)*cos(x2)*cos(w)); x4=atan(2.4/3.6);

f=(m(i,3)-m(i,4))*cos(x4)+m(i,4)*((1+cos(x4))/2)+m(i,5)*sin(x1+x4); if f>1000

elseif f>=200

ndfsum200 = ndfsum200 + f elseif f>=80

ndfsum80 = ndfsum80 + f elseif f>=30

ndfsum30 = ndfsum30 + f end end

附录六

u=zeros(24,1); mu=zeros(24,1); f=zeros(24,1); total=zeros(4,1); s=[13.24*10100 7100*3200-1100*2500 10100*3200-3600*2500-1100*1400-1800*1800 7100*3200] x=0; y=0; a=1;

%a的参数改变可以求不同面的最优解 for i=1:1:24

mu(i,1)=sqrt(1000*dianchi(i,2)*dianchi(i,3)*dianchi(i,6)*dianchi(i,4)/dianchi(i,5)/1000000)

if i>=14

u(i,1)=sqrt(30*dianchi(i,2)*dianchi(i,3)*dianchi(i,6)*dianchi(i,4)/dianchi(i,5)/1000000)

f(i,1)=fushe(3,a)+1.01*(fushe(1,a)+fushe(2,a)) end

if i>=7&&i<=13

u(i,1)=sqrt(80*dianchi(i,2)*dianchi(i,3)*dianchi(i,6)*dianchi(i,4)/dianchi(i,5)/1000000)

f(i,1)=fushe(3,a)+fushe(2,a) end

21

if i<=6

u(i,1)=sqrt(80*dianchi(i,2)*dianchi(i,3)*dianchi(i,6)*dianchi(i,4)/dianchi(i,5)/1000000)

f(i,1)=fushe(3,a)+fushe(2,a)*0.05 end end

for k=1:1:200 for i=1:1:16 for j=1:1:24 if k*u(j,1)>=nibianqi(i,3) && mu(j,1)<=nibianqi(i,4) k*dianchi(j,6)<=nibianqi(i,6) && k*dianchi(j,2)*dianchi(j,3)x=nibianqi(i,7)*k*dianchi(j,2)*dianchi(j,3)*dianchi(j,6)*f(j,1)/1000000 y=k*dianchi(j,1)*dianchi(j,7)+nibianqi(i,8) if x*x/y>total(1,1) total(1,1)=x*x/y total(2,1)=k total(3,1)=i total(4,1)=j end end end end end

22

&&