专题03 随机变量的分布列、期望、方差-高考数学试题探源与变式(解析版)

专题三 随机变量的分布列、期望、方差

【母题原题1】【2019浙江，7】设0a1，则随机变量X的分布列是：

则当a在0,1内增大时（ ） A. DX增大 C. DX先增大后减小 【答案】D 【解析】

方法1：由分布列得E(X)2B. DX减小

D. DX先减小后增大

1a，则 3222111a11a11a12D(X)0a1a，则当a在

263333339(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大.

方法2：则

2222a1(a1)2a2a22132D(X)EXE(X)0a

3399924故选D.

【母题原题2】【2018浙江，7】设0则当p在（0，1）内增大时， A. D（ξ）减小 B. D（ξ）增大

C. D（ξ）先减小后增大 D. D（ξ）先增大后减小 【答案】D 【解析】

，

，

，∴

先增后减,因此选D.

点睛：

【母题原题3】【2017浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，

iii2.若02A. E1< E2， D1< D2 B. E1< E2， D1> D2 C. E1> E2， D1< D2 D. E1> E2， D1> D2 【答案】A

【解析】∵E1p1,E2p2，∴E1E2， ∵D1p11p1,D2p21p2，

∴D1D2p1p21p1p20，故选A．

【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．

【命题意图】1.分布列的概念及其性质；2.考查期望、方差的关系及其计算公式；3.考查运算求解能力、分析与解决问题的能力.

【命题规律】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向．近三年浙江卷略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.同时，考查二次函数性质的应用，逐渐形成稳定趋势. 【答题模板】

求离散型随机变量均值、方差的步骤：

(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值； (2)求X的每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)由公式求出EX、方差． 【方法总结】

1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解． 2. 六条性质

(1) ECC (C为常数)

(2) EaXbaEXb (a,b为常数) (3) EX1X2EX1EX2

(4)如果X1,X2相互，则EX1X2EX1EX2 (5) DXEXEX22

(6) DaXbaDX

23. 均值与方差性质的应用若X是随机变量，则fX一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．

一、选择题

1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】设0p1，随机变量的分布列是

则当p在(0,1)内增大时（ ） A．E()减小，D()减小 C．E()增大，D()减小 【答案】A 【解析】

由题意得E()0B．E()减小，D()增大 D．E()增大，D()增大

1p1pp121，所以当p在(0,1)内增大时，E()减少； 2222p21p2pp21pp23p2D()[0(1)][1(1)][2(1)]222222231(p)224， 2所以当p在(0,1)内增大时，D()减少． 故选：A．

2.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】已知随机变量的分布列如下表：

X P 其中A．【答案】D 【解析】

-1 0 1 a b c .若的方差

B．

对所有

C．

都成立，则( )

D．

由的分布列可得：的期望为所以的方差

，， ，

因为所以当且仅当又故选D

3.【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】已知随机变量ξ的分布列如下，则E（ξ）的最大值是（ ） ξ P A．

B．

C．

D．

-1 0 a 对所有

时，

取最大值

，

，解得

，所以

.

都成立，所以只需

【答案】B 【解析】

根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,，根据公式得到

次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到此时

,经检验适合题意.

化简得到.

，根据二

故答案为：B.

4.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知ξ －1 0 1 ，随机变量 ξ 的分布列如下：

P

当 a 增大时，（ ）

A. E(ξ)增大， D(ξ)增大 B. E(ξ)减小， D(ξ)增大 C. E(ξ)增大， D(ξ)减小 D. E(ξ)减小， D(ξ)减小 【答案】A

【解析】分析：由随机变量 的分布列，推导出增大；

，由

，得到当

，从而当增大时，

增大时，

增大. 增大；

，∵

，∴当增大时，

增大，故选A．

详解：由随机变量 的分布列，得，∴当增大时，

5.【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是( ) A．C．【答案】D 【解析】 在A中，

在B中，由数学期望的性质得在C中，由方差的性质得在D中，故选D.

6．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知随机变量i1,2的分布列如表所示：

，故B正确； ，故C正确；

，故D错误．

，故A正确；

B． D．

 p 0 1 31 pi 2 2pi 3

若0p112p2，则（ ） 23A. E1E2,D1D2 B. E1E2,D1D2 C. E1E2,D1D2 D. E1E2,D1D2 【答案】D 【解析】

由题意得Eipi2∵0p124pipi. 3312p2 23∴E1E2 ∵Di222120Ep1Ep2Eiiiii 331412218∴Dipipipipipipi2pi

3333339设fxx2∵0p1222182x，则fx在0,上单调递减. 39312p2 23∴D1D2 故选D.

7．【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】随机变量的分布列如下：

其中，，成等差数列，则

的最大值为（ ）

-1 0 1 A. B. C. D. 【答案】A

【解析】因为，，成等差数列，

，

.

则

的最大值为 .

本题选择A选项.

8．【2017届浙江省高三上学期高考模拟】已知-1 0 ，随机变量的分布如下： 1

当增大时，（ ） A. C.

增大，增大，

增大 B. 减小 D.

减小，减小 ，

增大 减小

【答案】B 【解析】由题意得，

，

，又∵

，∴故当增大时，

减小，

增大，故选B.

9．【2017年12月浙江省重点中学期末热身】已知随机变量满足P01， 3P1x， P222x，若0x，则（ ） 33A. E随着x的增大而增大， D随着x的增大而增大 B. E随着x的增大而减小， D随着x的增大而增大 C. E随着x的增大而减小， D随着x的增大而减小

D. E随着x的增大而增大， D随着x的增大而减小 【答案】C

【解析】∵ 随机变量满足P0∴E0∴

12， P1x， P2x 331241x2xx 3334414D0x1xx2x333318111 xxx

396122222241221xxxxx3333322∵0x2 3∴E随着x的增大而减小， D随着x的增大而减小 故选C 二、填空题

10．【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知随机变量的分布列如下表： 若

，则

______；

______．

【答案】 0. . 【解析】 由题得所以解得a=0. 所以

.

故答案为：0，.

11．【浙江省2018年12月重点中学高三期末热身】已知随机变量的分布列为： 若

，则

__________；

___________.

-1 0 2 【答案】 【解析】

由分布列的性质以及期望公式可得，解得

，

，

，

，

故答案为

.

12．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二)】若随机变量的分布列如表所示：则

______，

____．

【答案】 【解析】 由题意可知：

，解得

（舍去）或

由方差计算性质得