第7课时离散型随机变量及其分布列习题和答案详解

2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( ) A．1，2，…，6 C．1，2，…，11 答案 B

解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B.

n

3．若某一随机变量X的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )

2

X P A.－0.2 C．0.1 答案 B

n

解析 由m＋n＋0.2＝1，m＋2n＝1.2，可得m＝n＝0.4，m－＝0.2.

2

2

4．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值是( )

317A. 3817C. 19答案 B

22227

解析 1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝a[＋()2＋()3]，解得a＝. 333385．若随机变量X的分布列为

X P －2 0.1 －1 0.2 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.1 27

B. 3827D. 19

0 0.1 1 m 2 n 3 0.1 B．1，2，…，7 D．1，2，3，…

B．第一枚5点，第二枚1点 D．第一枚6点，第二枚1点

B．0.2 D．－0.1

则当P(XB．[1，2] D．(1，2)

解析 由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X6．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( ) A．25 C．7 答案 C

解析 X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8，4＋5＝9.

7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________． 答案 －1，0，1，2，3

解析 X＝－1，甲抢到一题但答错了；X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X＝2时，甲抢到2题均答对；X＝3时，甲抢到3题均答对．

8．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________． 答案

3

10

B．10 D．6

解析 ξ可能取的值为0，1，2，3，

C31C42＋C32C21C417C32C421C311

P(ξ＝0)＝22＝，P(ξ＝1)＝＝，又P(ξ＝3)＝22＝， 22

C4C65C4C615C4C6301713

∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－－－＝.

5153010

9．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

617

答案 (1) (2)

75

解析 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A， C21C53＋C22C526

则P(A)＝＝.

C747

6

所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.

7(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. C331C434

P(X＝1)＝4＝，P(X＝2)＝4＝，

C735C735C532C634

P(X＝3)＝4＝，P(X＝4)＝4＝.

C77C77则随机变量X的分布列是

X P 1 1 352 4 353 2 74 4 7142417故随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 3535775

10．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列． 2

答案 (1) (2)略

3

解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽C41C61＋C42302

取，所以该顾客中奖的概率P＝＝＝.

C102453C62152

(或用间接法，即P＝1－2＝1－＝)．

C10453

(2)依题意可知，X的所有可能取值为0，10，20，50，60(元)，且

C40C621C31C612C321C11C612

P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，P(X＝20)＝2＝，P(X＝50)＝＝，

C1023C1025C1015C10215C11C311

P(X＝60)＝＝.

C10215所以X的分布列为：

X P 0 1 310 2 520 1 1550 2 1560 1 1511.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

31

答案 (1)略 (2)

120

解析 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的C3kC73k

概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.

C103所以随机变量X的分布列是

X P 0 7 241 21 402 7 403 1 120－

－

(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而 C31C32371P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝， 3C104040120

3∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝

407131＋＋＝. 40120120

12．(2019·贵州遵义联考)2018年俄罗斯冬奥会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量(单位：毫克)．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：

编号 x y (1)求乙厂生产的产品数量； (2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)． 4答案 (1)35 (2)14 (3) 5

14

解析 (1)乙厂生产的产品总数为5÷＝35.

98

22

(2)样品中优等品的频率为，估计乙厂生产的优等品的数量为35×＝14.

55

1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 C2iC32i

(3)ξ＝0，1，2，P(ξ＝i)＝(i＝0，1，2)，

C52ξ的分布列为

ξ P 3314均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

105105

13．(2019·河南豫北名校联盟)《中国新歌声》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出．每期节目有四位导师参加．导师背对歌手，若每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练．已知某期《中国新歌声》，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：

导师转身人数(人) 获得相应导师转身的选手人数(人) 4 1 3 2 2 2 1 1 0 3 101 3 52 1 10－

现从这6位选手中随机抽取2人考查他们演唱完后导师的转身情况． (1)求选出的2人导师为其转身的人数和为4的概率；

(2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 1

答案 (1) (2)E(X)＝5

5

解析 (1)设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3位导师为其转知，D，E有2位导师为其转身，F只有1位导师为其转身．从6人中随机抽取两人有C62＝15种情况，其31

中选出的2人导师为其转身的人数和为4的有C22＋C21C11＝3种，∴所求概率为P＝＝.

155(2)X的所有可能取值为3，4，5，6，7.

1＋C21C2151C21C11＋C22C21C1121

P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝；P(X＝5)＝＝＝；P(X＝6)＝＝

C62155C62153C6231C21C112

＝；P(X＝7)＝＝. 155C6215∴X的分布列为

X P 3 2 154 1 55 1 36 1 57 2 1521112E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝5.

1553515