浅析空间解析几何与立体几何教学的结合

维普资讯 http://www.cqvip.com 二ｏ　ｏ二年　克　山　师专学报　ＮＯ．３　第三期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｋｅｓｈａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　２００２　浅析空间解析几何与立体几何教学的结合　张鸿艳’，曹建民　（１　佳木斯大学．黑龙江　佳木斯　１　５４０００：２．克山师专数学系，黑龙江　克山　１６１００１）　摘　要：本文提出了空间解析几何中直线和平面间关系的一个问题的七种解法。　关键词：对称式：　两点式：一般式　中图分类号：Ｏ１８２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９－－３９５８（２００２）０３—００２５－＿－０２　在空间解析几何教学中经常会遇到下面一类题目：通过平面７【：　＋Ｂｙ＋　＋Ｄ＝０外一点ｐ（ａ，ｂ，ｃ１引平面耵　的平行直线．使该直线与不在耵上的已知直线ｈ　？　：兰　：三　相交门Ｐ　，求此直线方程：笔者结合这类题目对　空间解析几何与立体几何教学的结合方法进行了一些探讨：　一、解的情：兄　无数解　当点Ｐ在直约上时有无数解　唯一解当点Ｄ不在直线止且直线屿平面百不平行时．有唯一解。　无解　当直线　平面百平行且直线　点ｐ所确定的平面与平面竹不平行时，无解：　二、问题的解法　ｒ一］求直线的两点式方程　解法ｌ设过点Ｐ而平行于平面１Ｔ的平面１Ｔ：的方程为Ａｘ＋Ｂｙ　Ｃｚ．Ｄ　－－－０，代入ｐ点坐标即可确定Ｄ２：由立体几　何有关知识可知：一条直线与两平行平面中的一个相交，必与另一个平面相交，因此只需求出直线，与平面竹：　的交点，则由Ｐ。币¨Ｄ的坐标可求得所求直线的两点式坐标：　解法：没所求直线与直线／的交点为Ｐ，（ｘ，，　，．ｚ，），因所求直线必平行于平面竹，即有　Ａｌ　。一ａ）一Ｂ（　一ｂ）　（　（ｚ　一ｃ）：０（１），又因点　，在直线／上。有　，押　：　门　：　／９　（２）．　由（１）、（２）组成方程组，并从中求解出　，　，ｚ　则由点Ｐ　和ｐ的坐标可求得所求直线的两点式方程：　（二）求直线的对称式方程　解法３没所求直线的方向矢量为　．、，ｚ：，由所求直线与平面订平行有Ａｘ＋Ｂ￣，＋Ｃｚ＝０（１）　－口　ｂ－ｂ　Ｖ　●　Ｃ’Ｃ－　又由直线ｆ同过点ｐ与平面耵平行的直线相交，确定一平面，故有　，，２　：　＝０（２、　门　由（１）（２）联立可解得ｘ，Ｙ，ｚ从而可求得所求直线的对称式方程。　特殊地，若点ｐ与直线／上已知点（ａ１．ｂ１．Ｃｊ）的连线同平面竹平行，ｆｌ［１Ａ（ａ．ａＩ）＋Ｂ（ｂ．ｂＩ）＋Ｃ（ｃ．Ｃ１）＝Ｏ则　｛ａ．ａｔ，ｂ－ｂ，，ｃ．Ｃ，：即为所求直线的方向矢量　解法４设所求直线的方向矢量为｛ｘ．　ｚ），由已知条件可求点ｐ和直线，确定的平面为　收稿日期：２００２一Ｏ４—２７　作者简介：张鸿艳（１９６９一），女，黑龙江佳木斯人，佳木斯大学讲师。　・２５・　维普资讯 http://www.cqvip.com １Ｔ　ｌ：Ａｌｘ＋Ｂｔｙ＋ＣＩｚ＋Ｄｌ＝０和过点Ｐ与平面１Ｔ平行的平面１Ｔ　２：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄｒ＝０．平面１ＴＩ与１Ｔ　２的交线即为所求直　线，故｛ｘ．ｙ，ｚ｝＝｛Ａ・．ＢＩ．ＣＩ｝Ｘ（Ａ．Ｂ．Ｃ｝，求得ｘ．Ｙ，　而求得所求直线的对称式方程。　（三）求直线的一般式方程　解法５设过点Ｐ而平行于丌的平面丌ｚ的方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ￣＝０，将点Ｐ的坐标代入此方程可得到Ｄ２的值，于　是确定了丌　的方程＝再求点ｐ和直线，所确定的平面丌，的方程，可设为ＡＩｘ＋Ｂｔｙ＋Ｃ－ｚ＋Ｄ　０，根据立体几何中　平面平行的性质以及直线平行平面的判定定理：所求直线的一般方程为＿［　三　解法６没（ｘ．ｙ，ｚ）为所求直线上任意一点，则｛ｘ．ａ，Ｙ．ｂ．Ｚ．ｃ｝即为所求直线的方向矢量，于是有　Ａ（ｘ・ａ）＋Ｂ【ｙ．ｂ）＋Ｃ（ｚ．ｃ）＝０即：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ．（Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃｃ）＝０，此平面为过Ｐ点而平行于平面１Ｔ的平面，其与由点Ｐ　和直线，所确定的平面Ａｔｘ＋ＢＬｘ’＋Ｃｔｚ＋Ｄｌ＝０的交线即为所求直线，因此所求直线的一般方程为：　ｆＡＩＸ＋ＢＬｖ＋Ｃ　一－Ｄｌ：０　Ｌ　＋Ｂｖ＋ｌ二　．（　口＋　６＋Ｃｃ）：０　ａｌｙ－６ｌ　—解法７把直线，的方程改写为一般式：ｌ　ｌ　，Ｖ・＝Ｄｌ　　：・Ｃ　０　将（ａ－ｂ．ｃ）代入方程　Ｐ　（　．　）十Ｉｌ（　．三　）：０中．求出ｕ的值，得到过ｐ点和直线，的平面方程，此平面与过点Ｐ同平　，”　‘　面仃平行的平面的交线即为昕求直线．故所求直线的一般方程为：　．ａ．　ｖ．ｂ　Ｖ．ｂ。　＝．ｃ　ｒ（——　・　—　）一“（＝。—　－——）＝０　Ｊ　，＂　Ｐ　￣Ａｘ＋Ｂｖ＋Ｃ：＋Ｄ，：０　由此例子的多种解法可以看出空间解析几何与立体几何有着密切的联系，在教学中应重视这种联系。　参考文献：　［１】吕林根．解析几何（第３版）［Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８７　（责任编辑、校对：谢玉坤）　Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｉｎｊ　Ｓｐａｃｅ　Ａｎａｌｙｉｃ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ａｎｄ　Ｃｕｂｉｓ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ＺＨＡＮＧ　Ｈｏｎｇ．ｙａｎ’，ＣＡＯ　Ｊｉａｎ．ｍｉｎ　（１￣ａｍｕｓｉ　ｕｎｖｅｒｓｉｔｙＪｉａｍｕｓｉ　１５４０００；２．Ｍａｒｔｈｓ　Ｄｅｐａｒｍｅｎｔ　ｏｆＫｅｓｈａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｋｅｓｈａｎ　１６１６０１．Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：．Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｃ　ｄｅａｌｓ　ｗｉｔｈ　ｓｅｖｅｎ　ａｎｓｗｅｒｓ　ｔｏ　ｏｎｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｓｐａｃｅ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｗｈｉｃｈ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｓｔｒａｉｇｈｔ　ｌｉｎｅ　ａｎｄ　ｐｌａｎｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒ￣：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｌｅ；ｔＷＯ・ｐｏｉｎｔ　ｍｏｄｅｌ；ｇｅｎｅｒａｌ　ｍｏｄｅｌ　・２６・