【北师大版】2019年高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数导数及其应用 第10讲 函数模型及其应用

第10讲 函数模型及其应用

1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )

2

A．y＝100x B．y＝50x－50x＋100

xC．y＝50×2 D．y＝100log2x＋100

解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．

2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )

解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.

3．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝ae

n t．

若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值

8

B．8 D．10

a为( ) A．7 C．9

111115nntnt5n解析：选D.令a＝ae，即＝e，由已知得＝e，故＝e，比较知t＝15，m＝15－5＝

882810.

4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( ) A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 解析：选A.由三角形相似得24－yx552

＝.得x＝(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)＋180， 24－82044

所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.

5．(2016·长春联合测试)某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况

n解析：选B.设该股民购这只股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)nn＝0.99·a试题习题，尽在百度

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6．(2016·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是________．

2

解析：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k＋

2

108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)＋8，所以当k＝9时，获得利润最大． 答案：9

7.某人根据经验绘制了2016年元旦前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

解析：前10天满足一次函数关系式，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数

10＝k＋b，20702070190

解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝. 9999930＝10k＋b，

190

答案： 9

8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是__________．

2

解析：七月份：500(1＋x%)，八月份：500(1＋x%). 所以一至十月份的销售总额为：

2

3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)]≥7 000， 解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2， 所以xmin＝20. 答案：20

9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度． (1)求x的取值范围；

(2)把月供电总费用y表示成x的函数；

(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？ 解：(1)x的取值范围为10≤x≤90. 522

(2)y＝5x＋(100－x)(10≤x≤90)．

2

515215100250 0001002

(3)因为y＝5x＋(100－x)＝x－500x＋25 000＝x－＋，所以当x＝

322233

2

50 000100

时，ymin＝.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．

33

10．(2016·中山模拟)围建一个面积为360 m的矩形场地，要求矩形场

地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m，修建此矩形场地围墙的总费用为y试题习题，尽在百度

2

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元．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用． 解：(1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.

360

由已知得xa＝360，得a＝. x360

所以y＝225x＋－360(x>2)．

2

x3602(2)因为x>2，所以225x＋≥2225×360＝10 800.

2

x360所以y＝225x＋－360≥10 440.

2

x360当且仅当225x＝时，等号成立．

2

x即当x＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．

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