二次函数与线段问题

二次函数与线段问题

1.已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3). (Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,

2作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=EF,

5请求出点P的坐标;

(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?

解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x－3), 把点C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3, 解得a=1,

∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x－3),

即y=x2－2x－3,

∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4, ∴顶点D的坐标为(1,－4);

(Ⅱ)如解图,设直线CD的解析式为y=kx＋b, 把点C(0,－3),D(1,－4)代入得

1b3k－,解得, kb4b－3∴直线CD的解析式为y=－x－3, 当y=0时,－x－3=0, 解得x=－3, 则E(－3,0),

设P(t,t2－2t－3)(t＞1), 则M(t,－t－3),F(t,0),

∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t,

2而PM=EF,

52∴t2－t=(t＋3),

5整理得5t2－7t－6=0,

3解得t1=－(舍去),t2=2,

5当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3, ∴点P坐标为(2,－3);

第1题解图

(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),

设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,

当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时, 令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解,

则b2－4ac=1－4m=0,

1解得m=;

4若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5), 则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E(－3,0), 则9－2×(－3)－3＋m=0, 解得m=－12,

1∴抛物线向上最多平移个单位长度,向下最多平移12个单

4位长度.

12. 已知抛物线y=(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在

2点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D. (Ⅰ)试求点A,B,D的坐标;

(Ⅱ)连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE的长;

(Ⅲ)以(Ⅱ)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.

1解:(Ⅰ)由y=0得(x－3)2－1=0,解得x1=3－2,x2=3＋2, 2又∵点A在点B的左侧,

∴A点坐标为(3－2,0),B点坐标为(3＋2,0), 1由抛物线解析式y=(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3,－1);

2(Ⅱ)如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点

F,ED交x轴于点M,

由题意可得,∠DCG＋∠COF=90°,∠EOM＋∠COF=90°, ∴∠DCG=∠EOM, 又∵∠CGD=∠OME=90°, ∴△CDG∽△OEM,

33CGDG∴=,即=,

2EMOMEM∴EM=2, ∴E点坐标为(3,2), ∴OE=3222=13;

(Ⅲ)如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2－1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小, 设P点坐标为(x,y),则PQ=x－3,EQ=2－y, ∴由勾股定理得EP2=(x－3)2＋(2－y)2,

1∵y=(x－3)2－1,

2∴(x－3)2=2y＋2,

∴EP2=2y＋2＋y2－4y＋4=(y－1)2＋5, 当y=1时,EP2为最小值,

1将y=1代入y=(x－3)2－1,得x1=5,x2=1,

2∴P点坐标为(1,1)或(5,1). ∵点P在对称轴右侧的抛物线上, ∴x2=1舍去, ∴P(5,1).

图① 图②

第2题解图

1133.已知抛物线y=－x2－x＋与x轴交于A,C两点(点A在

424点C的左边),直线y=kx＋b(k≠0)分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点. (Ⅰ)求A,C两点的坐标; (Ⅱ)求k,b的值;

(Ⅲ)设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx＋b(k≠0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH＋DH的最小值,并求出此时点P的坐标.

1213解:(Ⅰ)令y=0,即－x－x＋=0,

424解得x1=－3,x2=1,

∵点A在点C的左边,∴A(－3,0),C(1,0); (Ⅱ)把A(－3,0)代入y=kx＋b,得－3k＋b=0,

解得b=3k,

1213yxx联立424,

ykxb1213得－x－x＋=kx＋b,即x2＋(2＋4k)x－3＋4b=0,

424∵直线y=kx＋b与抛物线有唯一公共点, ∴由根的判别式得(2＋4k)2－4(4b－3)=0,

把b=3k代入(2＋4k)2－4(4b－3)=0,得(2＋4k)2－4(12k－3)=0, 解得k=1, ∴b=3;

(Ⅲ)如解图,过点H作HG⊥对称轴于点G,过点P作PF⊥对称轴于点F,设直线AB与抛物线的对称轴交于点E,对称轴与x轴交于点M,

由题意知,抛物线对称轴为x=－1, 由(Ⅱ)知,直线AB的解析式为y=x＋3,

由直线AB知∠EAO=∠EHG=∠AEM=∠FPD=∠PDF=45°. 当x=－1时,y=x＋3=2,即E(－1,2).

113设P(x,－x2－x＋),则PF=FD=－1－x,

4241131ED=EM＋MF＋FD=2－(－x2－x＋)＋(－1－x)=x2－

424411x＋, 24PD=2FD=2(－1－x),

122121∴DH=HE=ED=(x－x＋),

242241211∴PH＋DH=DH－PD＋DH=2DH－PD=2(x－x＋)

424－2(－x－1)=

52222x＋x＋,

442b当x=－=－1时,PH＋DH取得最小值,最小值为

2a

4acb2=2,此时点P的坐标为(－1,1). 4a

第3题解图

4.已知,一抛物线过原点和点A(1,3),与x轴交于点B,△AOB的面积为3. (Ⅰ)求过点A、O、B的抛物线解析式;

(Ⅱ)在抛物线的对称轴上找到一点M,使得△AOM的周长最小,求△AOM周长的最小值;

(Ⅲ)点F为x轴上一动点,过点F作x轴的垂线,交直线AB于点E,交抛物线于点P,是否存在点F,使线段PE=

23？若存在,3

直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)过点A作AC⊥x轴于点C,如解图①, ∵A(1,3), ∴AC=3, 11∵S△AOB=BO·AC=BO×3=3, 22∴BO=2, ∴B(－2,0).

由题意可设抛物线解析式为y=ax2＋bx,

ab3把A、B坐标代入可得,

4a2b03a3解得,

b233∴过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=

3223x＋x; 33

(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得抛物线的对称轴为直线x=－1, 设直线AB交对称轴于点M,如解图②,连接OM, ∵OA长为定值,

∴△AOM周长的最小值即为OM＋AM的最小值, ∵B、O两点关于对称轴对称, ∴MO=MB.

∴A,M,B三点共线时,OM＋AM最小. 设直线AB的解析式为y=kx＋b,

kb3把A、B两点的坐标代入可得,

2kb03k3解得 ,

b233∴直线AB的解析式为y=

323x＋, 33

当x=－1时,y=

3, 33). 3∴点M的坐标为(－1,

由勾股定理可求得AB=[1(2)]2(3)223, AO=12(3)22,

∴△AOM周长的最小值为AM＋MO＋AO=AB＋AO=23＋2;

(Ⅲ)存在.点F的坐标为(0,0)或(－1,0)或((

117,0)或2117,0). 2【解法提示】假设存在满足条件的点F,设其坐标为(x,0), 3233223则E(x, x＋),P(x,x＋x),如解图③,

3333①当－2≤x≤0时,PE=PF＋EF=－(

32233x＋x)＋x＋333

2332323=x－x＋, 3333由PE=

233232323得－x－x＋=,解得x1=0,x2=－1, 33333当x=0时,点P与点F重合,点F的坐标为(0,0); 当x=－1时,点F的坐标为(－1,0); ②当0＜x≤1时,此时PE恒小于

23; 332233x＋x－(x＋333③当x＞1或x＜－2时,PE=PF－EF=2332323)=x＋x－, 3333由PE=

233232323得x＋x－=, 33333117117解得x1=,x2=,

22∴点F的坐标为(

117117,0)或(,0).

22

综上所述:点F的坐标为(0,0)或(－1,0)或(

117,0)或2117(,0).

2

图① 图② 图③

第4题解图

5.已知直线y=5x＋5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B. (Ⅰ)求二次函数的表达式;

(Ⅱ)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;

(Ⅲ)若点H为二次函数y=ax2＋4x＋c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴,y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F、E的坐标. 解:(Ⅰ)∵直线y=5x＋5交x轴于点A,交y轴于点C, ∴A(－1,0),C(0,5),

∵二次函数y=ax2＋4x＋c的图象过A,C两点,

a4c0a1∴,解得, c5 c5 ∴二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5; (Ⅱ)如解图①,

∵点B是二次函数的图象与x轴的交点,

∴由二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5得点B的坐标为B(5,0),

设直线BC解析式为y=kx＋b, ∵直线BC过点B(5,0),C(0,5),

5kb0k1∴,解得, b5 b5 ∴直线BC解析式为y=－x＋5, 设ND的长为d,N点的横坐标为n, 则N点的坐标为(n,－n＋5), D点的坐标为(n,－n2＋4n＋5), 则d=|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|, 由题意可知:－n2＋4n＋5＞－n＋5,

255∴d=－n2＋4n＋5－(－n＋5)=－n2＋5n=－(n－)2＋,

42255∴当n=时,线段ND长度的最大值是;

42(Ⅲ)∵点M(4,m)在抛物线y=－x2＋4x＋5上,∴m=5,∴M(4,5). ∵抛物线y=－x2＋4x＋5=－(x－2)2＋9, ∴顶点坐标为H(2,9),

如解图②,作点H(2,9)关于y轴的对称点H1,则点H1的坐标为

H1(－2,9);作点M(4,5)关于x轴的对称点M1,则点M1的坐标为M1(4,－5),连接H1M1分别交x轴于点F,y轴于点E,∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长,则点F,E即为所求的点.

设直线H1M1的函数表达式为y=mx＋n, ∵直线H1M1过点H1(－2,9),M1(4,－5),

7m92mn3∴,解得, 54mnn133137∴y=－x＋,

33∴当x=0时,y=当y=0时,x=

1313,即点E坐标为(0,), 331313,即点F坐标为(,0), 771313,0),(0,). 73故所求点F,E的坐标分别为(

图① 图②

第5题解图

6.已知抛物线y=－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1,0),B(－3,0)两点,与y轴交于点C. (Ⅰ)求抛物线的解析式;

(Ⅱ)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;

(Ⅲ)点Q是直线BC上方抛物线上的动点,求点Q到直线BC的距离最大时点Q的坐标.

解:(Ⅰ)∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A(－1,0),B(－3,0),

01bcb4∴,解得, 093bcc3∴抛物线的解析式为y=－x2－4x－3; (Ⅱ)由y=－x2－4x－3可得D(－2,1),C(0,－3),

∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,可得△OBC是等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°,CB=32, 如解图①,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,

1∴AF=AB=1,

2设直线BC与对称轴的交点为E,连接AE,AC,∵EF=1=AF,则有∠BAE=∠OBC=45°,

∴∠AEB=90°,∴BE=AE=2,CE=22. 在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP,

∴

AECE222,即,解得PF=2. AFPF1PF∵点P在抛物线的对称轴上, ∴点P的坐标为(－2,2)或(－2,－2);

(Ⅲ)设直线BC的解析式为y=kx＋b(k≠0),直线BC经过 B(－3,0),C(0,－3),

03kbk1∴,解得, 3b b3∴直线BC的解析式为y=－x－3.

如解图②,设点Q(m,n),过点Q作QH⊥BC于点H,并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S,则S点坐标为(m,－m－3), ∴QS=n－(－m－3)=n＋m＋3.

∵点Q(m,n)在抛物线y=－x2－4x－3上, ∴n=－m2－4m－3,

329∴QS=－m－4m－3＋m＋3=－m－3m=－(m＋)＋,

242

2

39当m=时,QS有最大值.

24∵BO=OC,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°, ∵QS∥y轴,∴∠QSH=∠OCB=45°, ∴△QHS是等腰直角三角形, ∴当斜边QS最大时,QH最大.

3∵当m=－时,QS最大,

29333此时n=－m2－4m－3=－＋6－3=,即Q(－,),

442433∴当点Q的坐标为(－,)时,点Q到直线BC的距离最大.

24

图① 图②

第6题解图

7.已知,直线y=kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点 A(－4,0)、B(0,3),抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C. (Ⅰ)求直线y=kx＋b的函数解析式;

(Ⅱ)若点P(m,t)是抛物线y=－x2＋2x＋1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时m的值;

(Ⅲ)若点E在抛物线y=－x2＋2x＋1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE＋EF的最小值. 解:(Ⅰ)∵直线y=kx＋b经过点A(－4,0),B(0,3),

3k0－4kb∴,解得4, 3bb33∴直线的解析式为y=x＋3;

4

(Ⅱ)如解图,过点P作PM⊥AB于点M,作PN∥y轴交直线AB于点N. ∵PN∥y轴, ∴∠PNM=∠ABO, ∵∠AOB=∠NMP=90°, ∴△AOB∽△PMN, ∴

AOAB=, PMPN∵OA=4,OB=3, ∴AB=OA2＋OB2=5, 4∴PM=PN,

5∵点P是抛物线上的点,PN∥y轴,

3∴P(m,－m2＋2m＋1),N(m,m＋3),

4

355∴PN=m＋3－(－m2＋2m＋1)=m2－m＋2=(m－)2＋

448103, 45103∴PM=d=(m－)2＋,

88055103∴当m=时,d取得最小值;

880(Ⅲ)∵抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C, ∴C(0,1),对称轴为x=－为K(2,1),

∴点K到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值,最小值为

2=1,点C关于对称轴的对称点

2(－1)4510314d=×(2－)2＋=.

88055

第7题解图

8.已知直线y=2x＋m与抛物线y=ax2＋ax＋b有一个公共点M(1,0),且a＜b.

(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;

1(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N,若－1≤a≤－,求线

2段MN长度的取值范围; 解:(Ⅰ)∵抛物线过点M(1,0), ∴a＋a＋b=0,即b=－2a,

9a1∵y=ax2＋ax＋b=ax2＋ax－2a=a(x＋)2－,

429a1∴抛物线顶点Q的坐标为(－,－);

42(Ⅱ)∵直线y=2x＋m经过点M(1,0), ∴0=2×1＋m,解得m=－2,

把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0①, ∴Δ=(a－2)2－4a(－2a＋2)=9a2－12a＋4, 又∵a＜b,b=－2a, ∴a＜0,b＞0, ∴Δ=9a2－12a＋4＞0,

∴方程①有两个不相等的实数根, ∴直线与抛物线有两个交点;

（Ⅲ）把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0,

22即x2＋(1－)x－2＋=0,

aa1121322∴[x＋(－)]=(－),解得x1=1,x2=－2,

2aa2a24将x=－2代入y=2x－2得y=－6,

aa24∴点N(－2,－6),

aa根据两点间的距离公式得,

24206013MN 2=[(－2)－1]2＋(－6)2=2－＋45=20(－)2,

aaaaa211∵－1≤a≤－,则－2≤≤－1,

2a13∴－＜0, a23125∴MN=25(－)=35－,

2aa1又∵－1≤a≤－,

2

∴55≤MN≤75. 9.已知二次函数的解析式为y=－x2＋4x,该二次函数交x轴于O、B两点,A为抛物线上一点,且横纵坐标相等(原点除外),P为二次函数上一动点,过P作x轴垂线,垂足为D(a,0)(a>0),并与直线OA交于点C. (Ⅰ)求A、B两点的坐标;

(Ⅱ)当点P在线段OA上方时,过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E,求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标; (Ⅲ)当PC=CO时,求P点坐标. 解:(Ⅰ)令y=0,则－x2＋4x=0, 解得x1=0,x2=4, ∴点B坐标为(4,0),

设点A坐标为(x,x),把A(x,x)代入y=－x2＋4x得, x=－x2＋4x,

解得x1=3,x2=0(舍去), ∴点A的坐标为(3,3);

(Ⅱ)如解图①,设点P的坐标为(x,－x2＋4x), ∵点A坐标为(3,3); ∴∠AOB=45°, ∴OD=CD=x,

∴PC=PD－CD=－x2＋4x－x=－x2＋3x, ∵PE∥x轴,

∴△PCE是等腰直角三角形,

∴当PC取最大值时,△PCE周长最大. ∵PE与线段OA相交, ∴0≤x≤1,

39由PC=－x2＋3x=－(x－)2＋可知,抛物线的对称轴为直线

24

3x=,且在对称轴左侧PC随x的增大而增大, 2∴当x=1时,PC最大,PC的最大值为－1＋3=2, ∴PE=2,CE=22, ∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE=4＋22, ∴△PCE周长的最大值为4＋22, 把x=1代入y=－x2＋4x,得y=－1＋4=3, ∴点P的坐标为(1,3);

(Ⅲ)设点P坐标为(x,－x2＋4x),则点C坐标为(x,x),如解图②, ①当点P在点C上方时,P1C1=－x2＋4x－x=－x2＋3x,OC1=2x, ∵P1C1=OC1, ∴－x2＋3x=2x,

解得x1=3－2,x2=0(舍去). 把x=3－2代入y=－x2＋4x得,

y=－(3－2)2＋4(3－2)=1＋22, ∴P1(3－2,1＋22), ②当点P在点C下方时,P2C2=x－(－x2＋4x)=x2－3x, OC2=2x,

∵P2C2=OC2,∴x2－3x=2x, 解得x1=3＋2,x2=0(舍去),

把x=3＋2代入y=－x2＋4x,得y=－(3＋2)2＋4(3＋2)=1－22,∴P2(3＋2,1－22). 综上所述,P点坐标为(3－2,1＋22)或(3＋2,1－22).

图① 图②

第9题解图

10.已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)、B(0,3)、C(1,0)三点.

(Ⅰ)求抛物线的解析式和它的顶点坐标;

(Ⅱ)若在该抛物线的对称轴l上存在一点M,使MB＋MC的值最小,求点M的坐标以及MB＋MC的最小值;

(Ⅲ)若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点,且纵坐标分别为m,m＋2,当四边形CBQP周长最小时,求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值. 解:(Ⅰ)将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式,

9a3bc0a1得c3,解得b2, abc0c3∴ 抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3, 配方,得y=－(x＋1)2＋4,即顶点坐标为(－1,4);

(Ⅱ)如解图①,连接AB交对称轴于点M,连接MC,由A、C关

于对称轴对称,得AM=MC, ∴ MB＋MC=AM＋MB=AB, 此时,MB+MC的值最小,

由勾股定理,得AB=OA2OB2=32, 即MB＋MC=32, 设AB的解析式为y=kx＋b, 将A、B两点坐标代入,得

3kb0k1,解得, b3b3∴直线AB的解析式为y=x＋3, 当x=－1时,y=2,即M(－1,2), 此时MB＋MC的最小值为32; (Ⅲ)如解图②,将B点向下平移两个单位,得D点,连接AD交对称轴于点P,作BQ∥PD交对称轴于点Q, ∵PQ∥BD,BQ∥PD,

∴四边形BDPQ是平行四边形, ∴BQ=PD,PQ=BD=2, ∴BQ＋PC=PD＋AP=AD,

由勾股定理,得AD=AO2OD2=3212=10, BC=OC2OB2=1232=10,

∴四边形CBQP周长的最小值=BC＋BQ＋PQ＋PC =BC＋PQ＋(BQ＋PC) =BC＋PQ＋AD =10＋2＋10 =210＋2,

设AD的解析式为y=kx＋b,将A、D点坐标代入得,

1k3kb0 ,解得3, b1b11∴直线AD的解析式为y=x＋1,

3

22当x=－1时,y=,即P(－1,),

338由|PQ|=2,且Q点纵坐标大于P点纵坐标得Q(－1,),

32故当四边形CBQP周长最小时,点P的坐标为(－1,),点Q的

38坐标为(－1,),四边形CBQP周长的最小值是210＋2.

3

图① 图② 第10题解图

11.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).

(Ⅰ)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;

(Ⅱ)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值; (Ⅲ)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为22,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)设二次函数的解析式为y=a(x－1)2＋4, ∵点B(3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a(3－1)2＋4, 解得a=－1,

∴二次函数的解析式为y=－x2＋2x＋3, ∵点D在y轴上, ∴令x=0,解得y=3, ∴点D的坐标为(0,3),

设直线BD的解析式为y=kx＋3, 把(3,0)代入得3k＋3=0,解得k=－1, ∴直线BD的解析式为y=－x＋3; (Ⅱ)设P点的横坐标为m(0＜m＜3), 则P(m,－m＋3),M(m,－m2＋2m＋3),

39∴PM=－m2＋2m＋3－(－m＋3)=－m2＋3m=－(m－)2＋,

243∴当m=时,PM取最大值,

29∴PM长度的最大值为;

4(Ⅲ)存在.如解图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD交BD于点H,

设Q(x,－x2＋2x＋3),则G(x,－x＋3) ∴QG=|－x2＋2x＋3－(－x＋3)| =|－x2＋3x|,

∵△DOB是等腰三角形, ∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°, ∴sin∠1=∴QG=4, 得|－x2＋3x|=4,

当－x2＋3x=4时,b2－4ac=9－16=－7＜0,方程无实数根, 当－x2＋3x=－4时,解得x1=－1,x2=4, ∴Q1(－1,0),Q2(4,－5),

综上所述,存在满足条件的点Q,点Q的坐标为(－1,0)或(4,－5).

QH2=, QG2

第11题解图