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几何经典难题
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初三）
C E G A B D O F
A D 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，
P ∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
C B
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的
中点．
A D
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） D2 A2 A1
D1
B1
C1
B2 C2
B C
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交
MN于E、F．
F 求证：∠DEN＝∠F． E N C D
A B
M 5、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； A （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初三）
O
· H E B C M D . . word.zl-
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6、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． G E 求证：AP＝AQ．（初三）
O · C
B D M N
Q P A
7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初三 ） E C A Q M · N P
· O B
D
8、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P
是EF的中点．
D 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
G
E C P F
B A Q . . word.zl-
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9、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
D A
F E B C
10、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二） A D F
B C
11、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） D A
F
B P C E
E
12、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求
证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
A O D B P
E F C . . word.zl-
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13、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
A P B C
14、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） A D
P
B C
15、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
A D
B C
16、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） A D
F P B E C 17、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．
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18、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
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A A D
P P C
C
B
B
19、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
20、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．
B C A P D
A
E D . . word.zl- . -
解答
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得
EOGOCO==,又CO=EO，所以CD=GF得证。 GFGHCD
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点， 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，
1110
由A2E=12A1B1=2B1C1= FB2 ，EB2=2AB=2BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=90和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ，
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可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和
∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
5.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
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从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
6.证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC， ∵OA⊥MN，EF⊥OA，
则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA， ∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180-∠FCD， ∵∠PAF=180-∠FAQ， ∴∠FCD=∠FAQ， ∴FCAQ四点共圆， ∠AFQ=∠ACQ=∠BED， 在△EPA和△FQA中
∠PEA=∠QFA AF=AE
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∠PAE=∠QAF
，
∴△EPA≌△FQA， ∴AP=AQ．
7.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
由于
ADABACAECDBE2FD2BGFD， BG 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。
8.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ=
EG2FH。
AI2BI=
AB，从而得证。 2. . word.zl-
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9.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。
10.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
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又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
11.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=
X=YYZXZ，可得YZ=XY-X2+XZ，
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。
12.证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，
所以PC2=PQ•PO（射影定理）， 又PC2=PE•PF，
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所以EFOQ四点共圆， ∠EQF=∠EOF=2∠BAD，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，
而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°， 故B、E、C、Q四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EOF=∠BAD， ∴CB∥AD，
所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，BC=AD．
13.顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。 可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
14.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
15.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BEBC=ADAC，即AD•BC=BE•AC， ① . . word.zl-
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又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
ABDE=，即AB•CD=DE•AC， ② ACDC 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
16.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由SAEPQAEPQ=，由AE=FC。 22ADE=
SABCD2=SDFC，可得：
可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。
17.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。
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由于∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：
≤L＜2 。
顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF=14234(321)2 = 23= 2 =
(31)222 = 2(31) . . word.zl-
18. . -
=
622 。
顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L = (2222)2(2)2a = 522a 。
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20.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ，
连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ， 既得：∠DFG=400① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠ 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
. DGF=400②
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