考点22 空间几何平行问题——2021年高考数学专题复习真题练习

考点22 空间几何平行问题 【题组一 三角形中位线】 1．如图，点E和点F分别是BC，A1C的中点，求证：EF//平面A1B1BA 2．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，E为PD的中点，证明：PB//平面AEC;

3．如图所示，在三棱锥PABC中，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点

D,E，证明：EF//平面ABP 4．如图,ABAD1CD,若M为EA中点,求证:AC∥平面MDF 2 5．已知四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，PBAD，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，求证：PA∥平面MDB

6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D． 【题组二 构造平行四边形证线面平行】 1．如图，四棱锥PABCD中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC

1AD, E是PD2

的中点，证明：直线CE∥平面PAB 2．如图，菱形ABCD，E,F分别是AB,PD的中点，求证：EF//平面PBC； 3．由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1，后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方

//平面B1CD1 形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，证明：AO1

4．在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且

DAB60,EAEDAB2EF2,EF//AB,M为BC中点，求证:FM∕∕平面BDE 【题组三 线面垂直证线面平行】 1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MN//AD1.

2．已知正方体ABCDA1B1C1D1，E,F分别为AC和A1D上的点，且EFAC，EFA1D.

（1）求证：EF//BD1； （2）求证：BE,D1F,DA三条直线交于一点. 【题组四 三角形相似比证线线平行】 1．如图，在四面体ABCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且

AQ3QC求证：PQ//平面BCD.

2．如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且PD2DC,明：CF//平面BDE； 【题组五 线面平行性质证线线平行】 1．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，但A1B//平面B1DE，则

A1E的值为_______. EC1 2.如图，在多面体ABCDEF中，DE平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF平面ADEFEF，

BAD60，AB2，DEEF1,求证：BC∥EF； 3．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别是线段A1C1，A1B的中点，设平面MNB1与平面

BCC1B1的交线为l，求证：MN//l.

4．如图所示，已知三棱锥ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，求证：EF//GH.

【题组六 面面平行性质证线线平行】 1．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，EF//平面ABCD，

EAEDAB2EF，M为BC的中点.求证：FM//平面BDE.

2．如图，在正四棱锥PABCD中，点F在棱PA上，且PF2FA，点E为棱PD的中点,求证：CE//平面BDF 3．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD//BC，平面A1DCE与B1B交于点

E.

求证：EC//A1D. 4．如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//CD，DAB90，PA底面ABCD，且

PAADDC1AB1，M，N分别是PB，PC的中点.求证：DN//平面AMC. 2 5．如图，在四棱柱ABCDA'B'C'D'中，点M和N分别为B1C和D1D的中点、求证：MN//平面

ABCD.

【题组七 面面平行】 1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N,P分别是AD1，BD，B1C的中点. 求证： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNPP平面CC1D1D. 2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．

1求证：平面A1C1G//平面BEF； 2若平面A1C1GBCH，求证：H为BC的中点． 如何学好数学 1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了 2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！ 3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。省时省力！ 4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！ 5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！ 6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！

考到概率超小 7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的 7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案 8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运气，文科可以试试。） 9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的 如果答案在前面3个的话 D应该是2(4/2).

数学无耻得分综合篇！ 做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。 大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及

辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。 理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。 第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。

第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。 第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。 第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要

不如果算错了第二问做出来了也白算了。第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。 选修题我只说下参数方程与极坐标，各种曲线的参数方程的标准形式要记准，里面谁是参数，以及各量的意义以及参数的几何意义，一般都是先画成直角坐标，变成直角坐标题意就简单了，有的题要用到参数方程里参数的几何意义来

解题（注意直线参数方程只有是标准的参数方程才能用t的几何意义，要不会差一个倍数，弦长|AB|=|t1-t2|，|PA||PB|=|t1t2|（注意P点得是你参数方程里前面的（a，b），只有这样联立后的参数t才表示PA、PB）），这时会简单许多。极坐标也是，先化成直角坐标再解题，这样就简单了。